군론과 물리학 (Group theory in Physics) - (4) Reducible and Irreducible representations
지난 포스팅에서 군의 표현(Group Representation)은 유일하지 않다고 말했습니다. 오늘 포스팅에서는 이에 대한 이야기를 조금 더 심층적으로 다뤄 보도록 하겠습니다.
Group Representation에 대해 궁금하신 분은 아래 포스팅을 참고해 주세요.
군론과 물리학 (Group theory in Physics) - (3) Group Representation
지난 포스팅(https://djlab.tistory.com/7)에 이어 회전에 대한 이야기를 좀 더 진행해 보겠습니다. 아주 간단하게 2차원 평면 공간을 생각해 보겠습니다. 그리고 두 개의 좌표계를 생각해 보겠습니다.
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군 표현의 동등성 (Equivalence of Group Representation)
어떠한 군 $G$에 대해 두 가지의 표현(Group representation) $D(g)$와 $D'(g)$가 있다고 생각해 보겠습니다. 각각의 행렬로 표현하며, 아래와 같이 군의 연산을 보존할 것입니다.
$${\rm For}\ g_1,g_2 \in G, D(g_1) D(g_2) = D(g_1 g_2), \ \ \ D'(g_1) D'(g_2) = D'(g_1 g_2).$$
여기서 만약 두 표현 사이에 어떤 역행렬을 갖는 행렬 S에 대해서, $S^{-1} D(g) S = D'(g)$라는 관계식이 성립하면, 두 표현은 동등하다고 말하며, 이를 $D'(g) \sim D(g)$라고 표기합니다.
이를 이해하기 위해 $D(g)$에 대한 고윳값 방정식(eigenvalue equation)을 생각해 보겠습니다:
$$ D(g)| \psi \rangle = \lambda | \psi \rangle.$$
$\lambda$는 고윳값(eigenvalue)을 의미하며, $| \psi \rangle$는 고유벡터(eigenvector)를 의미합니다. 만약 $D'(g) = S^{-1} D(g) S$라는 관계식을 갖고 있다면, 위에 식은 아래와 같이 적을 수 있을 것입니다:
$$ S^{-1}D(g) S | \psi \rangle = \lambda | \psi \rangle.$$
행렬로 표현된 $S$ 역시 $ |\psi \rangle$를 변환시킬 것입니다. 우리는 그것을 $|\psi' \rangle$이라 적겠습니다. 그럼 $ | \psi \rangle$와 $| \psi' \rangle$ 사이에는 $| \psi '\rangle = S | \psi \rangle$와 같은 식이 성립합니다. 이를 적용하고 양변에 $S$를 곱하여 위에 주어진 식을 다시 적으면, 아래와 같은 식이 됩니다.
$$ D(g) | \psi ' \rangle = \lambda |\psi' \rangle$$
결국 $D'(g)$는 $|\psi'\rangle$이라는 변화된 다른 기저(basis)에서 똑같은 고윳값(eigenvalue) $\lambda$를 준다는 것을 의미합니다. 그렇기 때문에, $D'(g)$는 그룹 $g$에 대해서 다른 기저에서의 표현일 뿐, 표현 $D(g)$와는 동등한 표현이 됩니다.
여기서 중요한 것은, 어떠한 그룹 $g$를 표현하는 방법이 딱 한 가지로 정의되는 것이 아니라는 것입니다. 일반적으로 그룹 $g$를 표현하는 Representation은 여러개가 존재할 수 있습니다.
군 표현의 축약가능성(Reducible Representation)
어떠한 군의 표현에 대해서 여러가지 표현 방법이 존재한다고 했습니다. 그렇다면, 그렇게 많은 표현들은 우리는 어떻게 분류할 수 있을까요? 이에 대한 답을 찾기위해 "reducible"과 "irreducible"하다는 표현에 대해서 알아보겠습니다.
군의 표현에서 "Reducible"과 "Irreducible" 하다는 말은 각각 "축약 가능한"과 "축약이 불가능한"이라는 사전적 의미를 갖고 있습니다. 보다 엄밀한 수학적 정의는 아래와 같습니다:
Reducible Representation: 어떠한 표현이 자명하지 않은(non-trivial) 불변하는 부분공간(non-trivial invariant subspace)을 가지면, 그것을 Reducible Representation이라 부른다.
Irreducible Representation: 어떠한 표현이 불변하는 부분공간을 갖고 있지 않다면, 그것은 Irreducible Representation이라 부른다.
여기서 말하는 자명하다는 것은 "0" 또는 "자기 자신"을 의미합니다. 그러므로, 어떠한 군이 "0" 또는 "자기자신"이 아닌 불변의 부분공간을 갖고 있다고 하면, 그것은 축약가능한 표현이라고 말할 수 있다는 것입니다. 말이 다소 추상적입니다. 예제를 통해서 좀 더 자세히 설명해 보도록 하겠습니다.
불변하는 부분공간 (Invariant subspace)
먼저 "불변하는 부분공간(invariant subspace)"의 뜻부터 알아보도록 하겠습니다.
어떠한 벡터 공간 V에 부분공간 U가 있다고 생각해 보겠습니다: $U \subseteq V$. 그리고 어떠한 변환에 대한 집합을 $\{ A_\alpha \}$라 표현하겠습니다. 그럼 U에 속하는 원소 $x$에 대해서 만약 모든 $A_\alpha$에 대해 $A_\alpha x \in U$이라면, 부분 공간 $U$는 변환 $A$에 대해 불변하는 부분공간이라 말합니다.
예제 1: 2차원 회전 변환
예를 들어보겠습니다. 2차원의 벡터 공간을 $V_{2D}$라 적고, 여기에 속하는 부분공간을 x축으로 잡겠습니다. x축 상의 공간은 $U_x$라 적겠습니다. 그리고 여기에 대해 2차원 회전을 $A_\theta^{(2)}$라 적겠습니다. 이러한 회전은 $\theta$에 의존하며, 아래와 같이 적을 수 있습니다:
\begin{eqnarray} A_\theta^{(2)} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \end{eqnarray}
그럼 x-축 상의 한 좌표에 대해서 2차원 회전 변환을 가해보는 것을 생각해보죠. 직관적으로, x축 상에 어떤 직선에 대해 모든 각도의 회전을 적용하면 2차원 평면 공간이 될 것입니다. 이러한 공간은 x축 선을 넘어섭니다. 즉, $U_x$에 대해서 $A_\theta^{(2)}$의 변환은 $U_x$의 속하지 않게 됩니다: $x \in U_x$에 대해 $A_\theta^{(2)} x \notin U_x$. 그러므로, $U_x$는 "Invariant subspace"가 아닙니다.
이번엔 부분 공간으로 자기 자신인 xy평면을 생각해 보겠습니다. 이를 $U_{xy}$라 적겠습니다. 그럼 이 평면 공간상의 한 점을 모든 각도에 대해 2차원 회전을 시키면 어떻게 될까요? 당연히 결과는 xy 평면에 속하게 될 것입니다: $x \in U_{xy}$에 대해 $A_\theta^{(2)} x \in U_{xy}$. 즉, (당연하게도) $U_{xy}$는 2차원 회전 변환에 대해 Invariant subspace가 됩니다. (이에 대해서 아래 [그림 1]을 참고하시면 직관적으로 이해하는 데 도움이 될 것입니다)
그러므로, 2차원 공간 상에서 주어진 회전 변환에 $A_\theta^{(2)}$에 대해서 Invariant subspace는 '아무것도 없는 공간'이거나 '자기 자신'밖에 없게 됩니다. 즉, 자명하지 않은 invariant subspace가 없다는 것을 의미합니다. 이는 주어진 변환이 2차원에서 회전을 표현하는 irreducible representation이 된다는 것을 의미합니다.
예제 2: 3차원 회전 변환
비슷한 예제를 3차원에 대해서 적용해 보겠습니다. 3차원 벡터 공간을 $V_{3D}$라 적겠습니다. 그리고 Z축에 대한 회전 변환을 $A_\theta^{(3)}$로 적겠습니다. 이는 아래와 같은 행렬로 쓸 수 있습니다:
\begin{eqnarray} A_\theta^{(3)} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}
그럼 우선 부분공간으로 xy 평면($U_{xy}$)을 생각해 보겠습니다. xy평면 상에 원소에 대해서 우리는 주어진 z축을 회전축으로 하는 회전 변환을 적용할 수 있습니다. 그러면 모든 회전변환에 대해서 xy 공간상의 평면이 만들어질 것입니다. 이것은 xy평면에 속하게 되므로, 이것은 주어진 변환에 대한 Invariant subspace가 됩니다: $x \in U_{xy}$에 대해서 $A_{\theta}^{(3)} x \in U_{xy}$.
둘째로, 부분공간 z축($U_z$)을 생각보겠습니다. 위에서와 비슷하게 임의의 z축 좌표에 대해 주어진 회전 변환을 적용하면, 이것은 다시 똑같이 z-축 상의 벡터가 될 것입니다. 이는 z축에 속하므로, 이 역시 Invariant subspace가 됩니다: $x \in U_z$에 대해 $A_{\theta}^{(3)} x \in U_z$.
앞선 예제1과 다르게 주어진 z-축에 대한 3차원 회전 변환 $A_\theta^{(3)}$에 대해 3차원 공간은 xy평면과 z축이라는 두 가지의 자명하지 않은 Invariant Subspace를 갖고 있습니다. 그러므로, z-축에 대한 회전 변환은 3차원 상에서 reducible한 표현이 됩니다. 그런데, 신기하게도, 주어진 회전 변환의 행렬을 잘 보면 주어진 변환을 xy평면에 대한 2차원 회전과 z축을 그대로 두는 변환으로 나눌 수 있습니다. 이를 수학적으로 Direct sum이라는 연산을 이용해 표현할 수 있습니다: $A_{xy} \oplus A_z$.
보다 일반적으로, 어떠한 Reducible한 행렬 표현에 대해서 irreducible한 행렬들의 블록형태로 표현이 됩니다 (그림 3). 특히나 주어진 군의 표현이 irreducible한 표현들의 완전한 블록 대각화(block diagonal) 형태로 되어 있다면, 우리는 쉽게 그것을 다른 basis들 상에서의 irreducible 변환들로 나눌 수 있습니다. 위에서 본 예제가 이에 해당합니다.
반면, [그림 3]에 왼쪽 그림처럼 완전하게 블록 대각화가 되어있지 않은 경우가 있는데, 이 경우 두 basis가 섞여 있음을 의미합니다. 이를 [그림 3]의 오른쪽 형태로 만들기 위해서는 주어진 변환 행렬을 완전하게 대각화 할 수 있는 basis를 찾아야 합니다. 그럼 우리는 주어진 표현을 irreducible한 표현들로 분리할 수 있을 것입니다.
정리하자면, 어떠한 그룹을 표현하는 representation에는 여러 종류가 있을 수 있습니다. 이러한 각각의 representation들은 해당되는 벡터 공간에서 변환의 의미를 갖게 됩니다. 그러나 동일한 그룹에 대해서 여러 개의 변환들은 물리적으로 동등할 수 있으며, 때로는 그 변환이 축약이 가능한 표현일 수 있습니다. 극단적으로, 우리는 xy평면에서의 회전 변환에 대해서 대각 성분을 무한히 늘려가며 같은 표현(물리적으로 같은 변환)들을 계속 만들어낼 수 있을 것입니다. 그러나 이러한 표현들은 결국 축약이 가능합니다. 이러한 표현의 성질로부터 우리는 우리가 관심 있는 물리 공간에서의 변환들을 보다 효과적으로 기술할 수 있을 것입니다.