구면조화함수(Spherical Harmonics)와 각운동량 연산자(Angular momentum operator)

이번 포스팅에서는 각운동량 연산자(Angular momentum operator)를 이용하여 구면조화함수(Spherical harmonics)를 찾아가는 방법에 대해 알아보겠습니다.

각운동량의 직교좌표계 성분

Cartesian 좌표계에서, 각운동량 연산자는

$$ L_i = ({\pmb r} \times {\pmb p})_i = \epsilon_{ijk} x_j p_k$$ 

로 쓸 수 있습니다. 우리는 이것을 구면 좌표계(Spherical coordinate, $(r, \theta, \phi)$))에서도 표현할 수 있습니다. 이를 위해 우선 $(x,y,z)$와 $(r,\theta,\phi)$에 대한 관계를 알아보면, 다음과 같습니다:

$$ \begin{eqnarray} && x = r\sin \theta \cos \phi, \ \ \ \ y = r \sin \theta \sin \phi, \ \ \ \ z = r \cos \theta \\[12pt] &&   r= (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2} \ \ \ \ \theta = \cos^{-1} z/r \ \ \ \ \ \phi = \tan^{-1} y/x.\label{01}\tag{1} \end{eqnarray}$$

그럼 위에 관계식을 이용하면,

$$ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \phi} = \sin\theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos\theta \cos \phi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi},     \label{02}\tag{2} $$

$$ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\partial}{\partial \phi} = \sin\theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\cos\theta \sin \phi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi},$$

$$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial r}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial \theta}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \theta}+ \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial}{\partial \phi} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin \theta }{r} \frac{\partial}{\partial \theta}, \label{03}\tag{3} $$

을 얻을 수 있습니다. 그럼 이를 이용해 각운동량의 직교좌표계 성분 $L_x, L_y, L_z$를 $r, \theta, \phi$를 이용해 아래와 같이 표현할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} L_x = yp_z - zp_y &=& - i \hbar \left[ y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y} \right] \\[12pt] &=& - i \hbar \left[ r \sin \theta \sin \phi \left( \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin \theta }{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \right. \\[12pt] &-& \left. r \cos \theta \left( \sin\theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\cos\theta \sin \phi}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos \phi}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \right] \\[12pt] &=& - i \hbar \left[-\sin \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right] \label{04}\tag{4} \end{eqnarray}

마찬가지로, 나머지 성분들도 계산을 해보면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\begin{eqnarray} && L_y = - i \hbar \left[ \cos \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right], \label{051}\tag{5-1} \\[12pt] &&L_z = -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi}. \label{052}\tag{5-2} \end{eqnarray}

 

사다리 연산자(Ladder operator)를 통한 $Y_{l,l}(\theta,\phi)$의 형태

 

각각의 성분을 이용하여, 사다리 연사자를 아래와 같이 만들 수 있습니다:

\begin{eqnarray} L_{\pm} = L_x \pm i L_{y} &=& - i \hbar \left[-\sin \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right] \pm i \left( - i \hbar \left[ \cos \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right] \right) \\[12pt] &=& \pm \hbar \left[ \cos \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \sin \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \mp i \left( -\sin \phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot \theta \cos \phi \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \right] \\[12pt] &=& \pm \hbar \left[ \left( \cos \phi \pm i \sin \phi \right) \frac{\partial}{\partial \theta} \pm \cot \theta \left( i \cos \phi - \sin \phi \right) \frac{\partial}{\partial \phi} \right] \\[12pt] &=& \pm \hbar \left[ e^{\pm i \phi} \frac{\partial}{\partial \theta} \pm i \cot \theta \left( \cos \phi + i \sin \phi \right) \frac{\partial}{\partial \phi} \right] = \pm \hbar e^{\pm i \phi} \left[\frac{\partial}{\partial \theta} \pm i \cot \theta \frac{\partial}{\partial \phi} \right]. \label{06}\tag{6} \end{eqnarray}

그럼 $L_+ Y_{l,m=l}(\theta, \phi) = 0 $이라는 조건을 이용하여, 

$$ L_+ Y_{l, l} (\theta, \phi) = \frac{\partial Y_{ll}}{\partial \theta} + i \cot \theta \frac{\partial Y_{ll}}{\partial \phi} =0 \label{07}\tag{7} $$

이라는 미분방정식을 얻을 수 있습니다. 또한, $L_z Y_{l,l}(\theta, \phi) = l Y_{l,l} (\theta, \phi)$이어야 한다는 조건을 통해

$$ -i \hbar \frac{\partial}{\partial \phi} Y_{l,l} (\theta, \phi) = l Y_{l,l} (\theta, \phi). \label{08}\tag{8} $$

를 얻을 수 있습니다. 이를 만족하기 위해 $Y_{l,l}(\theta, \phi)$는 $e^{il \phi}$에 비례해야 하며, 결국 아래와 같은 형태의 해를 가져야 한다는 것을 알 수 있습니다:

$$ Y_{l, l}(\theta, \phi) = e^{i l \phi} T(\theta). \label{09}\tag{9} $$

이제 주어진 $Y_{l,l}(\theta\,phi)$의 형태를 이용하여, 위에 주어진 미분방정식에 대입하면,

$$ e^{i \phi l}\frac{\partial T(\theta)}{\partial \theta} + i (i l) \cot \theta e^{il \phi}T(\theta) = 0. \label{10}\tag{10} $$

위에 식을 $T(\theta)$에 대해 정리하면,

$$ \frac{\partial T(\theta)}{\partial \theta} = l \cot \theta T(\theta).\label{11}\tag{11} $$

주어진 미분방정식의 해는 $T(\theta) = \sin^l \theta)$로 주어지며, 결국 $Y_{l,l} (\theta, \phi)$는

$$ Y_{l,l}(\theta, \phi) = c_{l,l} (\sin \theta)^l e^{il \phi}. \label{12}\tag{12} $$

가 되며, 이제 normalization constant $c_{l,l}$을 찾는 일만 남았습니다. 

 

Normalization constant

 

현재 관심있는 spherical harmonics $Y_{l,l}$에 대해 normalization 조건은 아래와 같습니다:

$$ \int |Y_{l,l}|^2 d \Omega = 2 \pi |c_{l,l}|^2 \int_0^\pi (\sin \theta)^{2l} \sin \theta d\theta = 2 \pi |c_{l,l}|^2 \int_0^\pi (\sin \theta)^{2l + 1}  d\theta = 1. \label{13}\tag{13} $$

이를 구하기 위해서는 $\int sin^n x dx$에 대한 적분은 부분적분을 통해서 다음과 같이 일반적으로 얻어집니다:

\begin{eqnarray} \int \sin^n x dx &=& \int \sin^{n-1}x \cdot \sin x dx = - \sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cdot \cos^2 x dx \\[12pt] &=&  - \sin^{n-1} x \cos x + (n-1)\int \sin^{n-2}x dx - (n-1) \int \sin^n x dx \label{14}\tag{14}.  \end{eqnarray}

이를 정리하면

\begin{eqnarray} \int \sin^n x dx  = - \frac{n-1}{n} \sin^{n-1} x \cos x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x dx \label{15}\tag{15} \end{eqnarray}

가 됩니다. 그럼, 이제 이러한 적분 결과를 우리가 풀고자 하는 식에 적용해 적용해 보겠습니다.

\begin{eqnarray} \int_0^\pi (\sin x)^{2l+1} dx &=& \frac{2l}{2l+1} \int_0^\pi \sin^{2l-1} x dx = \left( \frac{2l}{2l+1} \right) \left( \frac{2l-2}{2l-1} \right) \int_0^\pi \sin^{2l-3} x dx \\[12pt] &=& \left( \frac{2l}{2l+1} \right) \left( \frac{2l-2}{2l-1} \right) \left( \frac{2l-4}{2l-3} \right) \int_0^\pi \sin^{2l-5} x dx \\[12pt] &=& \left( \frac{2l}{2l+1} \right) \left( \frac{2l-2}{2l-1} \right) \cdots \frac{2l-(2l-2)}{(2l-(2l-3))} \int_0^\pi \sin x dx = 2 \frac{2^l l!}{(2l+1)!!}. \label{16}\tag{16} \end{eqnarray}

여기서 double factorial은 아래와 같이 정의됩니다:

\begin{eqnarray} n!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (2n-1) \ \ {\rm for \ odd} \ n, \ \ \ \ n!! = 2\cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot 2n \ \ {\rm for\ even}\ n. \end{eqnarray}

이러한 (\ref{16})의 적분의 결과를 이용하여 (\ref{13})을 다시 계산하면,

\begin{eqnarray} && 2 \pi |c_{l,l}|^2 \int_0^\pi (\sin \theta)^{2l + 1} d\theta = 2 \pi |c_{l,l}|^2 \left( 2 \frac{2^l l!}{(2l+1)!!} \right) = 1, \\[12pt] &&\Rightarrow c_{l,l} = \left( \frac{(2l+1)!!}{2^l l! 4 \pi } \right)^{1/2}. \label{17}\tag{17} \end{eqnarray}

그럼 구한 normalization constant를 이용하여 식 (\ref{12})의 $Y_{l,l}(\theta,\phi)$을 다음과 같이 완성합니다

\begin{eqnarray} && Y_{l,l}(\theta,\phi) = (-1)^l \left( \frac{(2l+1)!!}{4 \pi (2l)!! } \right)^{1/2} (\sin \theta)^l e^{il \phi}. \label{18}\tag{18} \end{eqnarray}

 

모든 $m$에 대한 $Y_{l,m}(\theta,\phi)$의 일반적인 형태

 

식 (\ref{18})에서 주어진 $Y_{l,l}(\theta,\phi)$에 대해, $L_-$ 연산자를 이용해 $m=l-1, l-2, l-3, \cdots -l$에 대한 모든 형태를 찾아낼 수가 있습니다. 그럼 한 번 적용해 보겠습니다. 

먼저 사다리 연산자를 한 번 가하게 되면, 다음과 같습니다:  

\begin{eqnarray} (L_-) Y_{l,l}(\theta,\phi) &=& (- \hbar) (e^{- i \phi}) (c_{l,l}) \left[\frac{\partial}{\partial \theta} - i \cot \theta \frac{\partial}{\partial \phi} \right] ( \sin \theta)^l e^{il \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar) (e^{- i \phi}) (c_{l,l}) \left[ l (\sin \theta)^{l-1} \cos \theta e^{il\phi} - i \cot \theta (il) e^{il \phi} \right] \\[12pt] &=& (- \hbar) (c_{l,l}) (e^{- i \phi}) (2 l) \cot \theta (\sin \theta)^l e^{il \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar) (c_{l,l}) (2 l) \cot \theta (\sin \theta)^l e^{i(l-1) \phi} = (- \hbar) (c_{l,l}) \left[ (2 l) \cos \theta (\sin \theta)^{l-1} \right] e^{i(l-1) \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar) (c_{l,l}) \left[ \frac{\partial}{(\sin \theta)^l \partial \theta} (\sin \theta)^{2l} \right] e^{i(l-1) \phi} = (- \hbar) (c_{l,l}) \left[(\sin \theta)^{-l+1} \frac{d}{ d (\cos \theta) } (\sin \theta)^{2l} \right] e^{i(l-1) \phi} . \label{19}\tag{19} \end{eqnarray}

사다리 연산자를 두 번 가 해 m값을 2만큼 내려보겠습니다:  

\begin{eqnarray} (L_-)^2 Y_{l,l}(\theta,\phi) &=& (- \hbar)^2 (c_{l,l}) (e^{- i \phi})^2 \left[\frac{\partial}{\partial \theta} - i \cot \theta \frac{\partial}{\partial \phi} \right]^2 ( \sin \theta)^l e^{il \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar)^2 (c_{l,l}) (e^{- i \phi})^2 \left[\frac{\partial}{\partial \theta} - i \cot \theta \frac{\partial}{\partial \phi} \right] ( 2 l \cot \theta (\sin \theta)^l ) e^{il \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar)^2 (c_{l,l}) (e^{- i \phi})^2 \left[\frac{\partial}{\partial \theta} - i \cot \theta \frac{\partial}{\partial \phi} \right] \left( \frac{d}{(\sin \theta)^l d \theta} (\sin \theta)^l \right) e^{il \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar)^2 (c_{l,l}) \left[ -l \cos \theta ( \sin \theta)^{-1-l} \left( \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta)^{2l} \right) + \left( \frac{d^2 \theta}{(\sin \theta)^l d\theta^2} (\sin \theta)^{2l}\right) \right. \\[12pt] &-& \left. i ( il ) \cot \theta \left( \frac{\partial}{(\sin \theta)^l \partial \theta} (\sin \theta)^{2l} \right) \right]e^{i(l-2) \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar)^2 (c_{l,l}) \left[ \left( \frac{d^2 \theta}{(\sin \theta)^l d\theta^2} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i(l-2) \phi} \\[12pt] &=& (- \hbar)^2 (c_{l,l}) \left[(\sin \theta)^{-(l-2)} \left( \frac{d^2 \theta}{d (\cos \theta)^2} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i(l-2) \phi} . \label{20}\tag{20} \end{eqnarray}

이것을 일반화하여, 가장 높은 상태 $m=l$에서 n만큼 내린 상태를 다음과 같이 기술할 수 있으며, ($m = l -n$):

\begin{eqnarray} (L_-)^n Y_{l,l}(\theta,\phi) = (- \hbar)^n (c_{l,l}) \left[(\sin \theta)^{-(l-n)} \left( \frac{d^n \theta}{d (\cos \theta)^n} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i(l-n) \phi}. \label{21}\tag{21} \end{eqnarray}

$m = l -n$의 관계식을 이용해 다시 쓰면,

\begin{eqnarray} (L_-)^{l-m} Y_{l,l}(\theta,\phi) = (- \hbar)^{l-m} (c_{l,l}) \left[(\sin \theta)^{-m} \left( \frac{d^{l-m} \theta}{d (\cos \theta)^{l-m}} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i m \phi}. \label{22}\tag{22} \end{eqnarray}

한편, $Y_{l,m=l}$로부터 n만큼 내린 $m$에 대해서 다음과 같은 고윳값 방정식이 만족되어야 합니다:

\begin{eqnarray} (L_-)^n Y_{l,l}(\theta,\phi) &=& \hbar^n \sqrt{(l+l)(l-l+1)} \sqrt{(l+(l-1))(l-(l-1)+1)} \sqrt{(l+(l-2))(l-(l-2)+1)} \\[12pt] &\times& \cdots \sqrt{(l+(l-n+1))(l-(l-n+1)+1)} Y_{l,m\,(=l-n)} (\theta, \phi) \\[12pt] &=& \hbar^n \sqrt{(2l)(1)} \sqrt{(2l-1))(2)} \sqrt{ (2l-2)(3) } \cdots \sqrt{(l+m+1)(l-m)} Y_{l,m} (\theta, \phi) \\[12pt] &=& \hbar^n \frac{\sqrt{(2l)! (l-m)!}}{(l+m)!} Y_{l,m} (\theta, \phi). \label{23}\tag{23} \end{eqnarray}

이 결과를 식 (\ref{22})와 조합하면, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} Y_{l,m} (\theta, \phi) &=& (-1)^{l-m} \frac{ (l+m)! c_{l,l} }{ \sqrt{(2l)! (l-m)!}} \left[(\sin \theta)^{-m} \left( \frac{d^{l-m} \theta}{d (\cos \theta)^{l-m}} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i m \phi}. \label{24}\tag{24} \end{eqnarray}

마지막으로 식 (\ref{17})에서 구한 $c_{l,l}$을 대입하면

\begin{eqnarray} Y_{l,m} (\theta, \phi) &=& (-1)^{l-m} \left( \frac{ (2l+1)!! (l+m)! }{ (4 \pi) 2^l l! (2l)! (l-m)! } \right)^{1/2} \left[(\sin \theta)^{-m} \left( \frac{d^{l-m} \theta}{d (\cos \theta)^{l-m}} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i m \phi}. \label{25}\tag{25} \end{eqnarray}

추가로 아래와 같은 관계식을 이용하면

\begin{eqnarray} (2l+1)!! = \frac{(2l+1)!}{2^l l!}, \end{eqnarray}

주어진 결과를

\begin{eqnarray} Y_{l,m} (\theta, \phi) &=& (-1)^{l-m} \frac{1}{(2^l l!)} \left( \frac{ (2l+1) (l+m)! }{ (4 \pi) (l-m)! } \right)^{1/2} \left[(\sin \theta)^{-m} \left( \frac{d^{l-m} \theta}{d (\cos \theta)^{l-m}} (\sin \theta)^{2l}\right) \right] e^{i m \phi}. \label{26}\tag{26} \end{eqnarray}

와 같은 형태로도 쓸 수 있습니다.