지난 포스팅(https://djlab.tistory.com/7)에 이어 회전에 대한 이야기를 좀 더 진행해 보겠습니다.
아주 간단하게 2차원 평면 공간을 생각해 보겠습니다. 그리고 두 개의 좌표계를 생각해 보겠습니다. 첫번째 좌표계는 $x_1$과 $x_2$로 기술할 것이고, 두번째 좌표계는 $x_1'$과 $x_2'$으로 기술하며, 이러한 두번째 좌표계는 좌표계 1에 대해 $\theta$의 각도 만큼 돌아간 좌표계로 정하겠습니다. (아래 그림)
이 두 좌표계를 통해 어떠한 관측 가능한 지점이 각도 $\theta$만큼 돌아갔을 때, 어떻게 기술되는 지를 구할 수 있습니다. 구체적으로, 좌표계 1에서의 임의의 좌표 $(x_1, x_2)$를 좌표계 2에서 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$$ x_1' = x_1 \cos \theta + x_2 \sin \theta , \ \ \ \ x_2' = -x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta.$$
이 주어진 변환식은 행렬로도 표현이 가능합니다:
$$ \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}.$$
위 식에서 $2 \times 2$ 형태의 행렬은 일반적으로 2차원 평면 공간에서 물체의 회전을 주는 행렬로 쓰입니다. 자, 그럼 이 식을 지난번 포스팅에서 다뤘던 $C_{3v}$ 군에 적용해 보겠습니다. ($C_{ev}$ 군에 대한 설명: https://djlab.tistory.com/7)
$C_{3v}$ 군에는 6가지 원소가 존재했습니다: (1) 0도 회전 (E), (2) 시계 방향으로의 120도 회전 (R), (3) 반시계 방향으로의 120도 회전 (=시계 방향으로 240도 회전) (L) , (4) R1축에 대한 반전, (5) R2축에 대한 반전, (6) R3축에 대한 반전. 우선 (1), (2), (3)의 경우의 회전은 각도를 회전 변환 행렬에 그대로 적용하여 아래와 같이 표현이 가능할 것입니다:
$$ \begin{eqnarray} (1)E: \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \ \ (2)R: \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}, \ \ (3)L: \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & -1 \end{pmatrix}.\end{eqnarray} $$
(4), (5), (6) 역시 행렬로 표현할 수 있습니다. 가장 쉬운 반전은 R3축에 대한 대칭이동일 것입니다. x의 부호만 바꿔주면 되니까요. 즉, (6) R3축에 대한 반전은 변환은 다음 행렬로 표현할 수 있습니다:
$$ (6)R3: \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},$$
(4)와 (5)의 경우 역시 기하학적 지식을 이용해 직접적으로 구할 수 있지만, $C_{3v}$ 군의 성질을 이용해 (4)와 (5)에 해당하는 행렬을 찾아보겠습니다.
(4) R1축에 대한 반전의 경우, 이전 포스팅에서 알아본 바와 같이 $R_1 = L*R3$의 형태로 표현이 가능합니다. 즉, $R_1$ 축에 대한 반전은 반시계 방향으로의 120도 회전 후에 R3축에 대해 반전시키는 것과 같으므로,
$$ \begin{eqnarray} (4)R1: \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray} $$이 됩니다.
마찬가지로, (5) R2축에 대한 반전 역시, $R_2 = R*R_3$라는 사실로부터,
$$ \begin{eqnarray} (5)R2: \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} =\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray} $$
을 얻을 수 있습니다. (예시에서, (4)와 (5)의 결과들은 기하학적으로 직접 얻어낸 결과와 같다는 것을 직관적으로 이해할 수 있습니다.)
결국, $C_{3v}$ 군에 속하는 원소들을 우리가 2차원 평면 공간으로 적용시켰을 때, 각각의 원소는 모두 $2 \times 2$ 행렬의 형태로 표현이 가능하다는 것입니다. 이러한 표현을 $D^{(2)}(g)$라고 쓰겠습니다. 여기서 $g$는 $C_{3v}$ 군의 원소이며, 윗첨자 (2)는 그룹 원소들을 2차원 공간에 표현했다는 것을 뜻합니다. 즉, 각각의 행렬의 요소들은 $D^{(2)}$를 통해 2차원 평면 공간상의 행렬로 표현이 가능하며, 우리는 이것을 $D^{(2)}(E)$, $D^{(2)}(R)$, $D^{(2)}(L)$, $D^{(2)}(R1)$, $D^{(2)}(R2)$, $D^{(2)}(R3)$의 기호들로 표현할 수 있습니다.
이렇게 표현된 행렬들은 그 자체로 또 하나의 군을 이룹니다. 또한 앞서 보였던 것과 마찬가지로, $C_{3v}$ 군의 연산을 각각 행렬로 표현하여 곱하나, 원소들을 연산한 수행한 후에 행렬로 표현하나 그 결과는 같습니다. 이를 일반화하여 적으면 다음과 같습니다:
$$ {\rm For}\ g_1, g_2 \in C_{3v}, D^{(2)}(g_1) D^{(2)}(g_2) = D^{(2)}(g_1*g_2). $$
이를 글로 풀어 쓴다면, "군의 연산이 보존된다"고 말할 수 있습니다.
이러한 예시를 일반화하여 몇가지 중요한 용어들을 정리하겠습니다. 앞서 보인 예에서처럼, 두 군 사이에서 연산이 보존되면, 두 군이 "Homomorphic" 하다고 말합니다. 더 나아가 연산이 보존됨과 동시에 두 군이 1대 1대응을 이룰 경우, 두 군을 "Isomorphic"하다고 말합니다. 또한 $D^{(2)}$와 같이 어떠한 그룹에 대해 Homomorphic 하도록 하는 행렬의 표현을 "Group Representation"이라 부르며, isomorphic할 경우 "Faithful Representation"이라 부릅니다. 이러한 Group Representation은 군 이론과 물리학을 이어주는 핵심적인 개념입니다.
군의 요소들은 단순히 수학적인 조건들을 만족하는 추상적인 원소에 불과합니다. 그 자체로 어떠한 물리적 의미도 가지지 않습니다. 그러나 이러한 수학적인 객체의 원소들을 Group Representation을 통해 우리가 관심있는 벡터 공간 상에서 표현하는 순간, 그것은 그 공간에서 변환을 표현하는 형태가 됩니다. 그것은 단순한 좌표계의 이동일 수도 있으며, 좌표계를 회전시키는 변환일 수도 있습니다. 심지어 이러한 변환이 적용되는 공간이 우리가 살고 있는 실제 공간이 아닌 양자 세계를 기술하는 추상적인 공간일 수도 있습니다. 그렇기 때문에 군의 성질로부터 우리가 관심있는 변환의 형태를 가장 추상적인 형태로 정의하고 그 성질을 이해한다면, 우리는 우리가 관심 있는 물리를 기술하기 위해 정의된 군의 모습을 관심있는 공간에 표현하여 물리 법칙의 변환에 대해 기술할 수 있습니다.
중요한 사실은 하나의 군을 표현하는 방법이 딱 한 가지로 정의되지 않는다는 것입니다. 일반적으로 하나의 군에 대해 우리는 여러가지 Group representation을 만들 수 있습니다. 그럼 그 많은 Group Representation들을 우리는 어떻게 구하고 분류할 수 있을까요? 이 질문에 대한 답을 다음 포스팅을 이어가 보도록 하겠습니다.
