물리학에서 가장 중요한 개념을 하나 꼽으라면, 그것은 "대칭성"이라는 개념일 것입니다. 그렇다면 물리학에서 말하는 "대칭성"이란 무엇이며, 이 대칭성을 왜 중요한 것일까요?
아래 그림은 눈결정 모양을 나타냅니다. 아마 그림을 보는 순간 직관적으로 사진에 대칭성이 있다는 것을 알 수 있을 것입니다. 비록 사진에서는 눈결정이 완벽히 대칭은 아니지만, 그림에 주어진 눈결정이 완벽한 대칭성을 갖고 있다고 생각해보죠. 그렇다면 주어진 그림을 반으로 접으면, 접힌 선을 기준으로 양쪽의 그림 모양이 같을 것입니다. 모양이 같다는 것은 구분할 수 없다는 뜻일 것입니다. 뿐만 아니라 주어진 그림을 약 60도 정도 회전 시켰을 때, 우리는 그림의 모양이 달라졌다는 것을 알아채지 못할 것입니다. 이처럼, 어떠한 변환에 대해 물리적 계가 변화하지 않는 것에 대해 우리는 대칭성이 있다고 말합니다. 주어진 예에 이를 적용하면, "눈결정은 60도 회전에 대해 대칭성을 갖고 있다"고 말할 수 있는 것이죠.
이러한 대칭성을 물리학에서 정말로 중요합니다. 가령, 우리에게 익숙한 만유인력의 법칙을 생각해 보도록 하겠습니다. 완전한 구형의 지구를 가정하고, 그 위에서 떨어지는 물체를 상상해 보겠습니다. 물체는 어느 각도에서나 지구 중심 방향으로 떨어질 것입니다. 즉, 물체가 지구의 중심 방향으로 떨어지려는 물리 법칙에는 회전 변환에 대한 대칭성이 있습니다.
이외에도, 물리학에는 수많은 대칭성들이 존재하며 이러한 대칭성을 기술하는 데 있어 '군론(Group theory)' 매우 유용한 수학적 도구로 사용됩니다. 앞으로 몇차례의 포스팅에 걸쳐 군(Group)에 대한 여러 성질과 그것들이 물리학에서 어떻게 적용가능한 지에 대해 살펴볼 것입니다. 그에 앞서 군에 대한 정의를 소개하고 이 포스팅을 마치겠습니다
군의 정의 (Definition of Group)
군은 아래와 같은 조건을 만족하는 원소들의 집합으로 정의됩니다.
1. 닫힘성: Group $G$에 속하는 원소 $g_1$과 $g_2$에 대해 연산의 결과인 $g_1 * g_2$ 또한 그룹 G에 속해 있어야 한다.
2. 결합 법칙: 정의된 연산 *와 그룹의 원소들 $g_1$, $g_2$, $g_3$에 대해, $(g_1 * g_2) * g_3 = g_1*(g_2 * g_3)$와 같은 결합법칙이 만족해야 한다.
3. 항등원의 존재: 정의된 연산 *과 그룹 내 모든 원소들에 대해 $g*I = I * g = g$를 만족시키는 항등원 I가 존재해야 한다.
4. 역원의 존재: 정의된 연산 *에 대해 $g^{-1} * g = g^{-1} * g = I$를 만족시키는 원소 $g$의 역원 $g^{-1}$이 존재해야 한다.
그룹의 정의만 봤을 때에는 굉장히 추상적입니다. 단순히 수학적인 조건 4가지를 만족시키는 원소들의 모임일 뿐이니까요. 다음 포스팅에서는 이러한 그룹의 예를 알아보고, 이것이 어떻게 물리학에 적용되는 지에 대해 설명을 이어가 보도록 하겠습니다.
