지난 포스팅에서는 군에 대한 정의를 소개했습니다. (링크 https://djlab.tistory.com/2 )
이번 포스팅에서는 군에 대한 몇가지 예를 더 알아보도록 하겠습니다.
평면 위에 꼭짓점 1,2,3을 갖는 정삼각형을 떠올려 보겠습니다. 그림 1에서 처럼 보이는 정삼각형에 어떠한 변환을 가했을 때, 이전과 구분할 수 없는 상태를 만들 수 있는 변환은 몇 가지가 있을까요? 정답은 아래와 같이 6가지가 있습니다 (각 번호에 포함된 알파벳을 변환을 의미하는 기호로 사용하겠습니다.):
1. 그대로 두기 (0도 회전, E), 2. 시계 방으로 120도 회전(R), 3. 반시계 방향으로 120도 회전(L),
4. R1축으로 반전(R1), 5. R2축으로의 반전(R2), 6. R3축으로의 반전 (R3)
이러한 변환들을 연속해서 가할 수도 있습니다. 예를 들면, 시계 방향으로 120도 회전을 두 번 가하게 될 경우, 삼각형은 시계 방향을 240도가 돌아갈 것입니다. 이것은 결국 반시계 방향으로 120도를 돌린 것과 같으며, 당연히 이 변화에 대해서 정삼각형의 모양은 처음과 같을 것입니다. 혹은 삼각형은 시계방향으로 120도 돌리고 R1축에 대해서 반전시키는 변환도 생각해볼 수 있습니다. 이에 대한 결과는 R3에 대해서 반전시킨 것과 같을 것입니다.
두번째 예시를 거꾸로 작용시키면 어떻게 될까요? R1축에 대해서 삼각형을 반전시키고 시계 방향으로 120도를 회전시키면 결과는 R2축에 대해 반전 시킨 결과와 같습니다. 변환의 순서를 달리 했을 때, 결과가 같지 않습니다. 이를 교환 가능하지 않다고 하며, 우리는 이러한 예에 대해서 아래와 같이 수식으로 표현할 수 있을 것입니다.
$$ R*R_1 \neq R_1*R$$
그렇다면 이러한 모든 가능한 변환들을 생각하여 표로 만들어 보겠습니다. (첫번째 열의 변환이 우선적으로 작용하는 것을 의미합니다.)
| * | E | R | L | R1 | R2 | R3 |
| E | E | R | L | R1 | R2 | R3 |
| R | R | L | E | R3 | R1 | R2 |
| L | L | E | R | R2 | R3 | R1 |
| R1 | R1 | R2 | R3 | E | R | L |
| R2 | R2 | R3 | R1 | L | E | R |
| R3 | R3 | R1 | R2 | R | L | E |
Table에서 보시는 것처럼, 모든 변환 요소들은 1) 대칭변환이라는 연산 안에서 닫혀 있으며, 2) 결합 법칙이 성립함을 보일 수 있으며, 3) 항등원이 존재하며 (E), 4) 각 원소들에 대한 역원이 존재합니다. 즉, 정삼각형에 대한 변환 요소들은 하나의 군(Grouop)을 이루고 있습니다. 우리는 이러한 그룹을 $C_{3v}$라 표현하겠습니다:
$$ C_{3v} = \{ E, R, L, R1, R2, R3 \},$$
보시는 것처럼 $C_{3v}$ 군은 원소의 개수가 유한하며, 각각의 원소들의 연산이 교환가능하지 않습니다. 원소의 개수가 유한한 군을 'Finite group'이라 부르며, 군의 요소들의 교환 법칙이 성립하지 않는 군을 'Non-Abelian group'이라 부릅니다. 즉, $C_{3v}$ 군은 Finite Group이며 Non-Abelian Group인 셈입니다.
반대의 경우도 물론 있습니다. 원소의 개수가 무한한 군을 Infinite Group이라 부르며, 그룹의 원소들 사이의 교환법칙이 성립하는 군을 Abelian Group이라 부릅니다. 이에 대한 예는 나중에 살펴 보도록 하겠습니다.
