각운동량의 덧셈 (1): Clebsch-Gordan 계수 (Clebsch-Gordan Coefficients)

 

 

 

 

이번 포스팅에서는 Clebsch-Gordan (이하 CG) 계수에 대해 알아보겠습니다. 

 

CG 계수의 정의 (Definition of CG coefficients): 

CG 계수는 각운동량으로 표현된 상태들의 결합으로부터 정의됩니다. 각운동량은 단순한 숫자가 아니라 벡터이기 때문에, 그것을 더하는 과정이 일반 사칙연산과는 다릅니다. 몇 개의 각운동량을 더할 것인가에 대해서 더하는 과정이 점점 더 복잡해 지는데요, 가장 간단한 경우인 2개의 각운동량을 더하는 과정에서 유도되는 계수가 CG 계수입니다. 좀 더 정확히 말하면, 두 각 운동량의 결합된 상태를 각각의 결합되지 않은 각운동량 상태로 표현할 때 생기는 계수를 CG 계수라 부릅니다. 

 

조금 더 자세히 알아보겠습니다.

 

우선, 아래 식을 만족하는 각운동량 연산자를 생각해 보겠습니다:

\begin{eqnarray} {\pmb J} = {\pmb J}_1 + {\pmb J}_2. \end{eqnarray}

각각의 각운동량 상태는 ${\pmb J}_k^2$와 $J_{kz}$ 연산자에 대해 다음과 같은 eigenvalue equation을 만족할 것입니다 ($k=1,2$):

\begin{eqnarray} {\pmb J}_k^2 | j_k \, m_k \rangle = j_k (j_k +1) \hbar^2 |j _k \, m_k \rangle \\[12pt] J_{kz} |j_k \, m_k \rangle = m_k \hbar |j_k \, m_k \rangle. \end{eqnarray}

여기서 $|j_k \, m_k \rangle$는 주어진 연산자들에 대한 eigenstate가 됩니다. 그럼, 두 각운동량 연산자에 대해서 우리는 다음과 같은 eigenstate를 구성할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} |j_1\, m_1 \rangle | j_2 \, m_2 \rangle.  \end{eqnarray}

이러한 eigenstate는 $\{{\pmb J}_1^2, J_{1z},  \, {\pmb J}_2^2 \, J_{2z} \}$ 연산자들에 대한 eigenstate가 될 것입니다. 이를 'Uncoupled basis' (결합되지 않은 상태의 기저)라 부릅니다.  이러한 uncoupled basis는 다음과 같은 eigenvalue 방정식을 만족하게 됩니다:

\begin{eqnarray} {\pmb J}_k^2 | j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle = j_k ( j_k + 1) \hbar^2 | j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle. \end{eqnarray}

 

그 다음, 두 각운동량을 결합한 ${\pmb J}$에 대해서, 우리는 아래와 같은 eigenstate를 구성할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} |j_1 \, j_2 \, j \, m  \rangle \end{eqnarray}

이를 'Coupled basis' (결합된 상태의 기저)라 부릅니다. 이러한 basis는 아래와 같은 eigenvalue 방정식을 만족합니다:

\begin{eqnarray} &&{\pmb J}_k^2 | j_1 \, j_2 \, j \, m \rangle = j_k (j_k + 1) \hbar^2 |j_1 \, j_2 \, j \, m \rangle \\[12pt] &&{\pmb J}^2 |j_1 \, j_2 \, j \, m \rangle = j( j+1 ) \hbar^2 | j_1 \, j_2 \, j \, m \rangle \\[12pt] && J_z | j_1 \, j_2 \, j \, m \rangle = m \hbar | j_1 \, j_2 \, j \, m \rangle. \end{eqnarray}

 

이렇게 정의된 Coupled basis와  Uncoupled basis는 완전성(Completeness)을 갖습니다. 따라서 Coupled basis를 Uncoupled basis로 전개가 가능한데, 여기서 발생하는 전개 계수를 CG 계수라 부릅니다. Completeness 관계식을 이용해, 결합된 상태 $|j_1\, j_2\, J \, M \rangle$을 결합되지 않은 basis로 표현하면 아래와 같이 적을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} | j_1\, j_2 \, J \, M \rangle  = \sum_{m_1, m_2} | j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle \langle j_1 \, m_1 j_2 \, m_2 | j_1 \, j_2\, J \, M \rangle, \label{1}\tag{1} \end{eqnarray}

위 식에서는 아래와 같은 Completeness 관계식이 사용되었습니다:

\begin{eqnarray}\sum_{m_1, m_2} | j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle \langle j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | = 1. \end{eqnarray}

 

그럼, 위 전개식에서 보이는 $\langle j_1\, m_1\, j_2 \, m_2 | j_1\, j_2\, J \, M \rangle$는 계수가 되며, 이를 Clebsch-Gordan 계수라 부릅니다. 간단하게 $(j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 | j \, m )$으로 표기하기도 하며, 이를 이용하면 위에 식을 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다:

\begin{eqnarray} | j_1\, j_2 \, J \, M \rangle  = \sum_{m_1, m_2} (j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 | j \, m ) | j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle , \end{eqnarray}

 

이러한 CG 계수는 다음과 같은 조건을 만족할 때 0이 아닌 값을 갖습니다: 

$$ |j_1 - j_2| \le J \le | j_1 + j _2| , \ \ \ m_1 + m_2 = M. \label{2}\tag{2}$$

 

이러한 CG 계수를 아래와 같이 표기로 정의하여 사용하기도 합니다:

\begin{eqnarray}  \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \equiv (-1)^{j_1 - j_2 - m_3} \hat{j_3}^{-1} (j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_3 \, -m_3). \end{eqnarray}

여기서 $\hat{j_3}$는 $\hat{j_3} = \sqrt{2j_3 +1}$로 정의되며, 이를 Wigner 3j symbol이라 부릅니다. 

 

추가로, 결합된 상태 $|j_1 \, j_2\, J\, M \rangle$ 역시 아래와 같이 완전한 집합이므로

\begin{eqnarray} \sum_{J, M} | j_1 \, j_2\, J \, M \rangle \langle j_1 \, j_2\, J \, M | = 1, \end{eqnarray}

역 관계식을 아래와 같이 구할 수도 있습니다:

\begin{eqnarray} |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle = \sum_{J, M} ( j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | J \, M ) | J\, M \rangle. \end{eqnarray}

 

 

CG 계수에 대한 점화식 (Recursion Relation of CG coefficients):

CG 계수를 계산하기 위해서, 우리는 주어진 정의로 부터 점화식을 만들 것입니다.

 

첫째로, 식 (\ref{1})의 좌변에서, 우리는 사다리 연산자 ${\pmb J}^\pm$ $(={\pmb J}^\pm_{1} + {\pmb J}^{\pm}_2)$를 적용할 수 있습니다. 그러면 아래와 같은 식이 유도됩니다:

\begin{eqnarray} {\pmb J}^{\pm} | j_1 \, j_2\, J \, M \rangle = \hbar C^\pm(J, M) | j_1\, j_2\, J\, M \pm 1 \rangle = \hbar C^\pm(J,M) \sum_{m_1, m_2} ( j_1 \, m_1\, j_2 \, m_2 | J \, M \pm 1 ) |j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle . \label{3}\tag{3} \end{eqnarray}

여기서 $C^\pm$의 값은 ${\pmb J}^{\pm}$의 고윳값으로부터 결정되며, 일반적으로 아래와 같이 주어집니다:

\begin{eqnarray} C^\pm(j,m) = \sqrt{j(j+1) - m (m \pm 1)}. \label{4}\tag{4} \end{eqnarray}

 

둘째로, 식 (\ref{2})의 우변에 대해서, 똑같이 사다리 연산자를 적용할 수 있습니다. 그러면 아래와 같은 식이 유도 됩니다:

\begin{eqnarray} {\pmb J}^{\pm} \sum_{m_1, m_2} ( j_1 \, m_1 j_2 \, m_2 | J \, M ) | j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle  &=& \sum_{m_1, m_2} \left( {\pmb J}^\pm_1 + {\pmb J}^{\pm}_2 \right) ( j_1 \, m_1 j_2 \, m_2 | J \, M ) | j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle \\[12pt] &=& \sum_{m_1, m_2} \left[ C^{\pm}(j_1, m_1) ( j_1 \, m_1 j_2 \, m_2 | J \, M ) | j_1\, (m_1 \pm 1)  \, j_2 \, m_2 \rangle \right. \\[12pt] &+& \left. C^{\pm}(j_2, m_2) ( j_1 \, m_1 j_2 \, m_2 | J \, M ) | j_1\, m_1 \, j_2 \, (m_2 \pm 1) \rangle \right]  \label{5}\tag{5} \\[12pt] \end{eqnarray}

 

두 개의 항이 나오는 것을 볼 수 있는데, 각각의 항들에 대해 completeness 관계식을 적용하면 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다:

\begin{eqnarray} && \sum_{m_1, m_2} \left[ C^{\pm}(j_1, m_1) \left( \sum_{m_1} | j_1\, m_1 \rangle \langle j_1\, m_1 | \right) | j_1\, (m_1\pm 1) \, j_2 \, m_2 \rangle \right. \\[12pt] &+& \left. C^{\pm}(j_2, m_2)| j_1\, m_1 \rangle \left( \sum_{m_2} | j_2\, m_2 \rangle \langle j_2\, m_2 | \right) | j_2 \, (m_2 \pm 1) \rangle \right] ( j_1 \, m_1 j_2 \, m_2 | J \, M ) \\[12pt] &=& \sum_{m_1, m_2} \left[ C^{\pm}(j_1, m_1 \mp 1) | j_1\, m_1\, j_2 \, m_2 \rangle ( j_1 \, (m_1 \mp 1) \, j_2 \, m_2 | J \, M ) \right. \\[12pt] &+& \left. C^{\pm}(j_2, m_2 \mp 1) | j_1\, m_1 \, j_2 \, m_2 \rangle ( j_1 \, m_1\, j_2 \, (m_2 \mp 1) | J \, M ) \right] \label{6}\tag{6} \end{eqnarray}

그럼, 주어진 식 (\ref{3}), (\ref{5}), (\ref{6})을 이용해, 우리는 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다: 

\begin{eqnarray} C^\pm(J,M)( j_1 \, m_1\, j_2 \, m_2 | J \, M \pm 1 ) &=& C^{\pm}(j_1, m_1 \mp 1) ( j_1 \, (m_1 \mp 1) \, j_2 \, m_2 | J \, M ) \\[12pt] &+& C^{\pm}(j_2, m_2 \mp 1) ( j_1 \, m_1\, j_2 \, (m_2 \mp 1) | J \, M ) \label{7}\tag{7} \end{eqnarray}

$M$이 $J$보다 클 수는 없으므로, $|J\, J+1 \rangle$와 같은 상태의 계수는 0이 되어야 합니다. 이를 이용하면, 우리는 $M=J$에 대해서 위에 부호를 따르면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} 0 &=& C^{+}(j_1, m_1 - 1) ( j_1 \, (m_1 - 1) \, j_2 \, m_2 | J \, J ) + C^{+}(j_2, m_2 - 1) ( j_1 \, m_1\, j_2 \, (m_2 - 1) | J \, J ). \label{8}\tag{8} \end{eqnarray}

이렇게 주어진 점화식을 이용하면, CG 계수를 계산할 수 있습니다.

 

Example: $j_1 =1/2$ and  $j_2 = 1/2$

그럼 주어진 점화식을 이용해 주어진 예제에 대한 CG 계수들을 구해 보겠습니다.

 

$J= j_1 + j_2$와 $M=J$에 대해서 CG 계수는 1이어야 하므로, 우리는 첫번째로 아래와 같은 관계식을 구할 수 있습니다.

$$ \left( \frac{1}{2}\, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 1 \right) = 1. \label{9}\tag{9} $$

 

그 다음, 식 (\ref{7})에서 주어진 점화식을 이용하면 아래와 같이 계산이 가능합니다:

\begin{eqnarray} C^+(1,0)\left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 1 \right) &=& C^+(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 0 \right) + C^+(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} | 1 \, 0 \right) \\[12pt] &=& \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 0 \right) + \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} | 1 \, 0 \right), \label{10}\tag{10} \end{eqnarray}

주어진 식을 정리하면, 아래와 같이 다시 쓸 수 있습니다:

\begin{eqnarray} \sqrt{2} &=&\left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 0 \right) + \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} | 1 \, 0 \right). \label{11}\tag{11} \end{eqnarray}

규격화 조건 (normalization condition) $\langle J' \, M' |J\, M \rangle = \delta_{JJ'} \delta_{MM'}$을 이용하여, 아래와 같이 계산할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 0 \right)^2 + \left( \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1 \, 0 \right)^2 = 1. \label{12}\tag{12} \end{eqnarray}

그럼  식 (\ref{11})과 (\ref{12})을 연립해서 풀면, 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다: 

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} | 1 \, 0 \right) = \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} | 1 \, 0 \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \label{13}\tag{13}. \end{eqnarray}

이와 비슷하게, $\left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1 - 1 \right)$에 대해서도 주어진 점화식을 이용하면 아래와 같은 관계식을 얻을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} C^+ (1, -1) \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1\, 0 \right) &=& C^+ (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}-1) \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2}-1 \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1 -1 \right) \\[12pt] &+& C^+ (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}) \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1 -1 \right) \\[12pt] &=& 0 + \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1 -1 \right). \label{14}\tag{14} \end{eqnarray}

이 식의 결과는 아래와 같습니다:

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 1 -1 \right) = 1 \label{15}\tag{15}. \end{eqnarray}

$| J = 0 \, M = 0 \rangle |$ 상태에 대해서는, 식 (\ref{8})을 이용해 보겠습니다:

\begin{eqnarray} 0 = C^+(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) + C^+(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}) \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) \label{16}\tag{16}. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) = - \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 0 \, 0 \right), \end{eqnarray}

역시 규격화 조건을 이용하여, 아래의 식을 유도합니다.

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} | 0 \, 0 \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 0 \, 0 \right)^2 = 1. \end{eqnarray}

그러면, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, \, \, \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) = \mp \sqrt{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray}

여기서 제곱에 대한 방정식을 풀 때, 부호에 대한 선택이 두 가지로 나누어 집니다. 일반적으로 $\left( j_1 \, j_1 \, j_2 \, J-j_1 | J \, J \right) > 0$이 되는 조건으로 부호를 많이 선택하는데, 이를 Condon–Shortley phase convention이라 부릅니다. 이러한 convention에 대해서 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다: 

\begin{eqnarray} \left( \frac{1}{2} \, -\frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, \frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) = - \sqrt{\frac{1}{2}}, \, \, \ \ \left( \frac{1}{2} \, \frac{1}{2} \, \frac{1}{2}\, -\frac{1}{2} | 0 \, 0 \right) = + \sqrt{\frac{1}{2}}. \end{eqnarray}

 

 

Python을 이용한 계산

Python의 Scipy 패키지는 CG 계수에 대한 계산 라이브러리를 제공합니다. 그럼, Python을 이용하여 간단하게 위에서 구한 결과들을 확인해 보겠습니다:

from sympy.physics.quantum.spin import CG

def clebsch_gordan(j1, m1, j2, m2, j3, m3):
    return CG(j1, m1, j2, m2, j3, m3).doit()


print("(1/2, 1/2, 1/2, 1/2 | 1, 1)=", clebsch_gordan(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1, 1).evalf())
print("(1/2, -1/2, 1/2, 1/2| 1, 0)=", clebsch_gordan(1/2, -1/2, 1/2, 1/2, 1, 0).evalf())
print("(1/2, 1/2, 1/2, -1/2 | 1, 0)=" ,clebsch_gordan(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, 1, 0).evalf())
print("(1/2, -1/2, 1/2, -1/2 | 1, -1)=" ,clebsch_gordan(1/2, -1/2, 1/2, -1/2, 1, -1).evalf())
print("(1/2, -1/2, 1/2, 1/2 | 0, 0 )=" ,clebsch_gordan(1/2, -1/2, 1/2, 1/2, 0, 0).evalf())
print("(1/2, 1/2, 1/2, -1/2 | 0, 0)=" ,clebsch_gordan(1/2, 1/2, 1/2, -1/2, 0, 0).evalf())

 

이 프로그램에 대한 실행 결과는 아래와 같습니다:

(1/2, 1/2, 1/2, 1/2 | 1, 1)= 1.00000000000000
(1/2, -1/2, 1/2, 1/2| 1, 0)= 0.707106781186548
(1/2, 1/2, 1/2, -1/2 | 1, 0)= 0.707106781186548
(1/2, -1/2, 1/2, -1/2 | 1, -1)= 1.00000000000000
(1/2, -1/2, 1/2, 1/2 | 0, 0 )= -0.707106781186548
(1/2, 1/2, 1/2, -1/2 | 0, 0)= 0.707106781186548

 

$\sqrt{1/2} = 0.707106$이므로, 위에서 구한 값들과 일치하는 것을 알 수 있습니다.