7장 - 베타 붕괴 (Beta decay): 1. 핵 베타 붕괴의 일반적 성질

 

 

이번 장에서는 베타 붕괴에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 베타 붕괴를 설명하기에 앞서, 표준 모형에서 사용되는 전하량 (electric charge), 경입자 수 (lepton number), 그리고 중입자 수 (baryon number)에 대한 개념을 살펴보도록 하겠습니다.

 

표준모형에서 존재하는 입자들 중, 베타 붕괴에서 중요하게 다뤄지는 입자들은 전자($e^-$), 양전자($e^+$), 전자타입 중성미자($\nu_e$)와 그것의 반입자($\bar{\nu}_e$), 양성자(p), 중성자(n)가 있습니다. (괄호안의 기호는 각각의 입자들을 표현하는 심볼입니다.)

 

이러한 입자들 중 쿼크로 구성되는 양성자와 중성자는 중입자로 분류되며, 이들은 중입자 수 +1을 갖습니다. 반면, 나머지 입자들은 경입자로 분류되며, 이들은 중입자 수 0을 갖게 됩니다. 대신, 이러한 경입자들은 경입자 수(lepton number)를 갖게 되는데, 전자와 전자타입 중성미자의 경우 +1을, 이들의 반입자인 양전자와 전자타입 중성미자의 반입자는 -1을 갖습니다. 또한, 이들 중 양성자와 양전자는 전하량 +1을 갖고, 전자는 전하량 -1을 갖습니다. 이를 표로 정리해 보겠습니다:

 

Particle	q (electric charge)	B (Baryon number)	L (Lepton number)	mass (${\rm MeV/c^2}$)
electron ($e^-$)	-e	0	+1	0.511
positron ($e^+$)	+e	0	-1	0.511
electron neutrino ($\nu_e$)	0	0	+1	0
electron antineutrino ($\bar{\nu}_e$)	0	0	-1	0
proton (p)	+e	+1	0	938.3
neutron (n)	0	+1	0	939.5

 

이러한 각 입자들에 대한 고유 수를 설명하는 이유는 베타 붕괴에서 주어진 각 수들이 보존되기 때문입니다. 즉, 반응 전과 반응 후의 각 입자에 대해 주어진 숫자들은 보존되어야 합니다.

 

참고로, 중성미자의 경우 아직 이러한 표준 모형으로는 완전하게 설명되지 않는 불가사의한 존재입니다. 표준모형에서의 중성미자는 0의 질량을 가지며, 중성미자와 반중성미자는 서로 다른 입자들로 여겨집니다. 일반적으로 입자와 반입자가 서로 다른 입자로 구분되는데, 이를 Dirac Particle이라 부릅니다. 반면, 입자와 반입자를 같은 입자로 취급하는 모형도 있는데, 이를 Majorana Particle이라 부릅니다. 아직 중성미자가 Dirac Particle인지 Majorana Particle인지는 밝혀지지 않았습니다. 중성미자가 어느 타입에 속하는 지를 밝히기 위한 여러 연구들이 진행되고 있는 상황입니다.

 

중성미자에 대해 또 다른 신기한 사실은 중성미자의 진동 현상입니다. 중성미자는 거리를 진행할 때 flavor가 변환된다는 사실이 실험적으로 밝혀졌는데, 이를 중성미자 진동이라 부릅니다. 예를 들면 $\nu_e$의 중성미자가 $\nu_\mu$ 혹은 $\nu_\tau$로 변환될 수 있습니다. 이러한 중성미자의 진동 현상에서는 렙톤 넘버가 보존되지 않습니다. 또한, 중성미자의 진동을 설명하기 위해서 중성미자는 질량을 가져야 합니다. 이 역시 표준모형에서는 설명이 불가능한 부분입니다. 중성미자의 질량은 매우 작은 것으로 알려져 있는데, 그 질량이 정확히 얼마나 되며 그 질량의 기원이 무엇인지에 대해서는 아직 연구가 더 필요한 상황입니다. 이는 현재의 표준 모형이 중성미자를 설명하는 데 있어서는 완벽한 모형이 아니라는 것을 뜻합니다. 

 

특히나 렙톤 넘버가 보존되지 않을 경우, 그러한 경우의 수들을 베타 붕괴에 적용한다면, 베타 붕괴에서 역시 표준모형에서 예측하는 것과 다른 모드의 붕괴가 발생할 수 있습니다. 대표적인 예가 neutinoless double beta decay인데, 우선 이 주제에 대해서는 논의를 배제하도록 하겠습니다. 

 

그럼 표준 모형 안에서 경입자 수, 중입자 수, 전하량 보존 법칙에 따라, 우리는 다음과 같은 세 가지의 베타 붕괴 과정들을 생각해볼 수 있습니다.

 

1. $\beta^-$ 붕괴: $n \longrightarrow p + e^- + \bar{\nu}_e$

이 반응은 자유 중성자가 자유 양성자로 붕괴하는 반응입니다. 붕괴 후의 상태에서는 경입자와 경입자의 반입자가 존재하며 앞서 정의한 숫자들이 보존되는 것을 확인할 수 있습니다. 이 경우 반응 전과 반응 후의 에너지 차이인 Q-value를 계산해 볼 수 있습니다:

$$Q_{\beta^-} = m_n c^2 - m_pc^2 - m_{e^-}c^2 > 0. $$

이는 양의 값으로 주어지며, 이러한 에너지는 최종적으로 생성되는 입자들의 운동 에너지가 될 것입니다.

 

 

2. $\beta^+$ 붕괴: $p \longrightarrow n + e^+ + \nu_e$

이 반응은 자유 양성자가 자유 중성자로 붕되하는 반응입니다. 이 경우, 반응 전과 반응 후의 에너지 차이인 Q-value는

$$Q_{\beta^+} = m_p c^2 - m_nc^2 - m_{e^+}c^2 < 0 $$

가 됩니다. 즉, 반응 후의 에너지가 반응 전보다 크다는 뜻입니다. 따라서, 자유 상태에서 이러한 반응은 일어나지 않습니다. 그러나 핵자 안에 존재하는 양성자는 중성자로 붕괴할 수 있습니다. 

 

3. 전자 포획(Electron Capture, EC): $p + e^- \longrightarrow n + \nu_e$

이것은 양성자가 전자를 포획하여 중성자와 중성미자를 방출하는 반응입니다. 이 반응의 경우, Q-value는

$$Q_{\rm EC} = m_pc^2 + m_{e^-}c^2 - m_n c^2 < 0$$

으로 주어지며, 이 역시 반응 후의 에너지가 반응 전보다 크기 때문에 자유 공간에서는 일어나지 않습니다. 

 

핵 베타 붕괴(Nuclear $\beta^-$ decay)

자유 공간에서와 다르게 핵자 안에서는 앞서 보여진 2와 3의 반응 역시 일어날 수가 있습니다. 핵자 안에서의 반응 과정은 보다 엄밀하게 아래와 같이 적을 수 있습니다.

 

1. Nuclear $\beta^-$ decay: $(Z,N) \longrightarrow (Z+1, N-1) + e^- + \bar{\nu}_e$

 

2. Nuclear $\beta^+$ decay: $(Z,N) \longrightarrow (Z-1, N+1) + e^+ + \nu_e$

 

3. Nuclear electron-capture: $(Z,N) + e^- \longrightarrow (Z-1, N+1) + \nu_e$

 

이러한 반응들의 Q-value는 최종 반응 후 상태의 렙톤들의 운동 에너지에 의해 결정됩니다. 또한, 반응 전과 반응 후의 핵자 질량 차이 역시 Q-value를 결정하는데 영향을 주며, 이러한 질량 차이는 핵자들의 다체 상호작용에 의존합니다. 결국 핵자 안에서의 베타 붕괴 반응들을 기술하기 위해서는 핵자의 다체 상호작용을 기술하여 핵자의 구조를 파악하는 작업이 중요해 진다는 뜻입니다. 

 

이러한 핵자 안에서의 반응들은 아래와 같이 파인만 다이어그램으로 표현할 수 있습니다:

핵자 안에서의 베타붕괴 반응. 출처: 그림 7.1, [From Nucleon to Nucleus] (by J. Suhonen)

이 그림에서 보면, 처음의 핵자 상태 $\Psi_i$에서 나중 핵자 상태 $\Psi_f$로 진행할 때, A-1개의 핵자들은 그대로 있는 반면, 하나의 핵자가 베타 붕괴 반응을 통해 변환됩니다. 이러한 과정에서는 하나의 핵자가 A-1개의 핵자와 강한 상호작용을 하지 않고, 오직 약한 상호작용에 의해서만 변환되는 것을 가정하고 있습니다. 즉, 맨 처음과 마지막 상태에서만 베타붕괴 하는 핵자가 나머지 A-1개 핵자와 상호작용하며, 그 사이에서는 해당 핵자가 약한 상호작용만 한다는 가정이 포함된 근사입니다. 마치 강한 상호작용의 스위치가 꺼졌다가 다시 켜지는 것 같이 보이는데, 이러한 근사를 impulse 근사라 부릅니다.  물론, 베타 붕괴 반응이 일어나는 과정에서도 핵자는 약한 상호작용 외에 나머지 핵자들과 강한 상호작용할 수 있습니다. 이러한 beyond impulse approximation은 아래와 같은 그림으로 표현이 가능합니다.

A nuclear beta-decay process Beyond impulse approximation. 출처: 그림 7.2, [From Nucleons to Nucleus] (by J. Suhonen).

 

파인만 다이어그램에서 핵자의 경로를 따라 그려진 선을 nucleon current 또는 "weak hadronic current"라 부릅니다. 이와 비슷하게, 렙톤의 경로를 따라 그려진 선의 경우 "weak leptonic current"라 부르며, 두 current는 weak-interaction vertex에서 만나 상호작용합니다. 이러한 current-current 상호작용은 중간자 교환에 의해서 일어납니다. 중간자가 전하를 띄고 있는 $W^{\pm}$일 경우, 이를 charged current interaction이라 부릅니다. 이러한 charged current interaction은 같은 약한 상호작용에서 전하가 없는 $Z^0$ 보존의 의해 매개되는 neutral current interaction과 구분됩니다. 실제로, charged current interaction에 의한 반응은 전하 교환(exchange of charge)을 수반하는 반면, neutral current interaction은 그러지 않습니다. 따라서, 앞서 소개한 3가지의 베타 붕괴 반응은 모두 charged current 과정입니다.

 

한 가지 중요한 사실은 핵자의 에너지 스케일은 수 MeV 정도인데 반해, charged current interaction을 매개하는 $W$ 보존의 질량이 약 80 GeV 정도로 매우 크다는 것입니다. 그렇기 때문에, 이러한 상호작용은 point-like하게 근사가 가능하며, 따라서 위에 그림에서 처럼 하나의 vertex를 통해 상호작용을 묘사할 수 있습니다. 이 vertex에서의 effective coupling constant는 Fermi constant $G_F$로 기술이 됩니다. 보다 엄밀한 계산에서, 약한 상호작용이 $W^-$ 보존에 의해 매개될 경우, 두 개의 vertex가 필요하며, 각 vertex에서의 coupling constant는 아래 그림처럼 $g_w$가 쓰입니다.  

$W^-$ 보존에 의해 매개되는 베타 붕괴 과정. 각각의 vertex에서의 coupling strength는 $g_W$로 주어진다. 출처: 그림 7.3, [From Nucleons to Nucleus] (by J. Suhonen)

 

 

정리하자면, 핵물리학의 에너지 스케일에 비해 $W$ 보존의 질량이 매우 크므로, $W^-$ 보존에 의한 매개 과정을 하나의 point like한 상호작용으로 근사시킬 수 있습니다. 이에 따라, 두 개의 vertex가 하나의 vertex로 합쳐지고, 그 지점에서의 interaction strength는 Fermi coupling constant로 기술이 됩니다. 자세한 증명은 좀 더 복잡한 계산 과정을 따라가야 하지만, 결과적으로 $G_F$는 $g_W$, $m_W$를 이용한 상호작용에서 propagator 식을 낮은 에너지 근사로부터 유도되므로 아래와 같은 관계식을 갖게 됩니다:

$$\frac{G_F}{\sqrt{2}} = \frac{g_W^2}{8 (m_W c^2)^2}. $$

이것은 핵물리학 스케일에서 타당한 근사가 되며, 두 개의 vertex를 하나의 vertex로 기술할 수 있기 때문에 베타 붕괴 반응을 기술하는 데 있어 아주 유용합니다.