7장 - 베타 붕괴(Beta decay): 2. Allowed Beta Decay

 

 

이번 포스팅에서는 허용된 베타 붕괴(Allowed Beta Decay)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

지난번 포스팅에서 설명했듯이, 핵 안에서의 베타 붕괴는 여러 핵자들 중 하나의 핵자가 붕괴하며 경입자(Lepton)를 방출하는 과정입니다. 물리학에서 반응 전과 반응 후의 상태를 기술할 때 중요한 조건은 "보존 법칙"입니다. 베타 붕괴안에서 역시 여러가지의 물리량들이 보존됩니다. 지난 포스팅에서 설명했던 경입자 수, 중입자 수, 전하량의 보존이 대표적인 예입니다. 여기에 보다 근본적인 "에너지-운동량 보존 법칙" 역시 성립합니다.

 

또 하나의 중요한 보존량은 바로 각운동량입니다.  양자 물리학에서 널리 사용되는 표기법을 따라서, 전체 각운동량을 $J$, 궤도 각운동량을 $L$, 스핀 각운동량을 $S$라 표기하겠습니다. Allowed Beta Decay의 정의는 바로 이 각운동량의 조건으로부터 나옵니다. 베타 붕괴의 경우 핵자가 붕괴한 후 두 종류의 렙톤들이 방출됩니다. 이 때, 방출된 렙톤들의 궤도 각운동량이 0인 베타 붕괴 반응이면, 이를 "허용된 베타 붕괴(Allowed Beta Decay)"라고 정의합니다. 즉, 경입자의 궤도 각운동량이 0이기 때문에, 이들의 궤도 각운동량은 핵자의 전체 각운동량 변화에 영향을 주지 않게 됩니다. 반면, 방출된 렙톤들이 궤도 각운동량을 가질 경우, 이를 "금지된 베타 붕괴(Forbidden beta decay)"라 부릅니다. 여기서 "금지되었다"는 뜻은 초기에 사람들이 생각하기에 그러한 베타 붕괴가 일어날 수 없다고 생각했으나, 사실은 그렇지 않습니다. 역사적으로 잘못 붙여진 물리학 용어 중 하나이며, forbidden beta decay에 대해서 나중에 설명하도록 하겠습니다.

 

Allowed beta decay에서 렙톤들의 궤도 각운동량은 0이지만, 두 렙톤들은 스핀 각운동량 1/2을 갖고 있습니다. 스핀이 1/2인 두 입자는 전체 스핀 S=0 또는 S=1을 가질 수 있습니다. 

 

두 렙톤의 스핀이 S=0으로 결합이 된 경우를 생각해 보겠습니다. 그럼 반응 전과 후의 각운동량이 보존되어야 하므로, 핵자의 각운동량 변화량 역시 0이어야 합니다.

$$ J_i = J_f + L(=0) + S(=0) \Rightarrow \Delta J = |J_f - J_i |  = 0.$$

즉, 핵자의 각운동량의 변화량 $\Delta J = 0$이어야 하며, 이를 "Fermi Transition"이라 부릅니다.

 

반대로, 두 렙톤의 스핀이 S=1인 상태로 결합된 경우는 어떨까요. 이 경우에도 역시 각운동량이 보존되어야 하므로,

$$ J_i = J_f + L(=0) + S(=1) \Rightarrow \Delta J = |J_f - J_i | = 1$$ 

이 됩니다. 즉, 핵자의 각운동량 변화량 $\Delta J = 1$이어야 하며, 이를 "Gamow-Teller Transition"이라 부릅니다. 

 

베타 붕괴에 대한 전이 확률과 반감기

그럼 수식을 이용해 좀 더 "허용된 베타붕괴"에 대한 물리량들을 살펴 보겠습니다. 

 

우선 반감기는 다음과 같이 전이 확률로부터 얻어집니다:

$$ t_{1/2} = \frac{\ln 2}{ T_{fi}}. $$

따라서 핵자의 반감기를 알기 위해서는, 전이 확률 $T_{fi}$를 알아야 합니다. 전이 확률의 일반적인 식은 Fermi Golden rule로부터 아래와 같이 주어집니다(양자역학 교과서를 참고하면 좋을 것 같습니다.):

$$ T_{fi} = \frac{2\pi}{\hbar} | \langle \phi_{\pmb k} ({\pmb r})  | H' | \phi_0 ({\pmb r}) \rangle |^2 \rho(E_f).$$

그럼, 우변을 계산하기 위해서는 핵자의 초기 상태 파동 함수, 상호작용과 관련된 Hamiltonian, 최종 상태 파동 함수, 그리고 최종 상태의 밀도가 필요합니다. 하나하나 살펴보며, 주어진 식을 구체화 해보겠습니다.

 

(i) 처음 상태의 파동 함수

먼저, 초기 상태의 핵자는 간단하게 아래와 같이 적을 수 있습니다:

$$ |\phi_0 ({\pmb r}) \rangle = | \xi_i \, J_i \, M_i \rangle. $$

여기서 $J$와 $M$은 각운동량 및 각운동량의 z 성분을 의미하며, $xi_i$는 이외에 나머지 양자수를 의미합니다.

 

(ii) 상호작용에 관한 Hamiltonian

베타 붕괴의 경우 중성자(양성자)가 양성자(중성자)로 붕괴하는 과정입니다. 이 과정은 결국 하나의 핵자의 변환을 기술하기 때문에, 상호작용을 기술하는 operator는 one-body operator여야 하며, 중성자 혹은 양성자의 변환을 기술하기 위해 isospin raising 혹은 lowering operator ${\pmb \tau_\pm}$이 들어가야 합니다. 여기서 약한 상호작용의 V-A theory에 따르면, 이 연산자는 vector 항과 axial vector 항 두개로 구성될 것입니다. 구체적인 형태는 다음 포스팅에서 자세히 다루고, 우선은 베타 붕괴에 대한 주어진 one-body operator 항을 아래와 같이 표기하도록 하겠습니다.

$$ \langle \phi_{\pmb k} ( {\pmb r} ) | H ' | \phi_0 ({\pmb r}) \rangle = \sum_{\mu M_f} \langle \phi_{\pmb k} ({\pmb r}) | {\pmb O}_{\lambda \mu} | \phi_{0} ({\pmb r}) \rangle. $$

 

 

(iii) 최종 상태의 파동 함수

최종 상태의 경우 핵자 뿐만 아니라 전자와 중성미자도 함께 수반됩니다. 이 상황을 간단하게 묘사하기 위해, 방출되는 전자와 중성미자가 상호작용 없이 자유 입자처럼 방출된다고 가정하겠습니다. 각각의 운동량은 ${\pmb k}_e$와 ${\pmb k}_\nu$로 쓰겠습니다. 그러면, 두 입자 모두 자유 입자이므로, 우리는 이를 평면파 형태로 아래와 같이 기술 가능합니다:

$$ |\phi_{\pmb k} ({\pmb r}) \rangle = \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i {\pmb k}_e \cdot {\pmb r}} \frac{1}{\sqrt{V}} e^{i {\pmb k}_\nu \cdot {\pmb r}} | \xi_f \, J_j \, M_f \rangle .$$

중성미자의 경우야 상호작용하는 정도가 작으니 앞선 가정이 타당해 보이지만, 전자의 경우는 핵자와 전자기 상호작용을 하는데 과연 그것을 무시할 수 있을지가 의문입니다. 이 부분을 기억해 둡시다. 뒤에서 최종 식을 구할 때, 우리는 전자에 대한 상호작용을 고려하여 보정항을 넣을 것입니다.

 

그럼 앞서 주어진 평면파의 형태는 아래와 같이 구면조화함수를 기저로 하여 전개가 가능합니다:
$$ e^{i {\pmb k} \cdot {\pmb r}} = \sum_{\lambda = 0 }^\infty \sqrt{4\pi (2\lambda + 1)} i^\lambda j_\lambda (kr) Y_{\lambda 0} (\theta, 0). $$

여기서 $k = |{\pmb k}| = | {\pmb k}_e + {\pmb k}_\nu |$ 이며, 각도 $\theta$는 ${\pmb k}$와 ${\pmb r}$ 사이의 각도입니다. 

 

위 전개식에서 한 번의 근사가 더 가능합니다. 베타 붕괴 반응에서의 Q-value는 MeV 정도이므로, 우리는 long-wave approximation을 사용할 수 있습니다. 그러면 주어진 구면 베셀 함수를 다음과 같이 근사할 수 있습니다:

$$ j_\lambda (kr) \approx \frac{(kr)^\lambda}{(2\lambda +1)!!}$$

그럼 최종 상태의 wave function은 다음과 같이 주어집니다:

$$ |\phi_{\pmb k} ({\pmb r}) \rangle = \frac{1}{V} \left\{  1 + i \sqrt{\frac{4\pi}{3}} (kr) Y_{10}(\theta, 0) + {\mathcal O} ((kr)^2) \right\} | \xi_f \, M_f \, J_f \rangle. $$

허용된 베타 붕괴에서 경입자들의 궤도 각운동량은 0이므로, 위 식에서는 결국 괄호 안에 첫째항만 남게 됩니다. 이번 포스팅에서 자세히 다루지는 않지만, 앞서 언급한 금지된 베타 붕괴(Forbidden beta decay)라는 것 역시 결국 위 식에서 $\lambda$에 대한 고차항 계산으로부터 얻어진다는 것을 알 수 있습니다. 일반적으로, 더 낮은 차수의 allowed beta decay보다 그 확률이 작다는 것을 우리는 직관적으로 이해할 수 있습니다.

 

(iv) 최종 상태의 밀도 함수

마지막으로, 최종 상태의 밀도를 계산해 보겠습니다. 베타 붕괴 후 방출되는 두 렙톤의 운동 에너지는 핵자가 베타 붕괴 과정에서 밀려나는 에너지 운동량에 의해 결정될 것입니다. 그 중 방출되는 중성미자의 경우 주변과 거의 상호작용을 하지 않을 것이기에, 우리는 이를 자유 입자처럼 취급할 수 있습니다. 그럼, 중성미자의 단위 밀도는 아래와 같이 기술 가능합니다:

$$ dn_\nu = \frac{V}{(2 \pi \hbar)^3} d {\pmb p}_\nu = \frac{V}{2 \pi^2 \hbar^3} p_\nu^2 dp_\nu. $$ 

여기서 중성미자의 에너지는 

$$ E_\nu^2 = (m_\nu c^2)^2 + p_\nu^2 c^2$$

가 될 것입니다. 또한 방출되는 경입자의 최대 운동에너지가 $E_0$라면, 중성미자의 에너지는 그 에너지에서 전자의 운동에너지를 뺀 식으로도 표현이 가능합니다. ($E_\nu = E_0 - E_e.$)

따라서 이를 위 식에 대입하면, 아래와 같은 결과를 얻습니다:

$$ d n_\nu = \frac{V}{2 \pi^2 \hbar^3} \frac{(E_0 - E_e)}{c^3} \left[ (E_0 - E-e)^2 - (m_\nu c^2)^2 \right]^{1/2} dE_e.$$

 

방출되는 전자의 경우 중성미자와는 다르게 핵자와 전자기 상호작용을 할 것이며, 이를 쉽게 무시할 수는 없을 겁니다. 이로 인해 전자의 경우 중성미자의 경우에서처럼 자유 입자 상태로 기술하는 것이 불가능합니다. 그래서 중성미자와 비슷한 식에다가 전자의 상호작용을 고려한 보정항 $F(Z, E_e)$를 아래와 같이 곱해줍니다:

$$ dn_e = \frac{V}{2\pi^2 \hbar^3} F(Z, E_e) p_e^2 dp_e,$$

여기서 $F(Z, E_e)$를 Fremi function이라 부르며, 이는 아래와 같이 주어집니다:

$$F(Z, E_e) = \frac{x}{1- e^{-x}}, $$

$x= \mp 2\pi \alpha Z c /v $로 주어지면 -부호는 $\beta^+$에 +부호는 $\beta^-$ 붕괴에 대응됩니다. $\alpha$는 fine structure constant를 의미합니다. 이는 핵에 의한 전하가 0일때와 $Z$일 때에 대해서 각각 전자의 파동 함수를 계산하고, 이에 대한 비율로부터 얻어집니다. 즉, $F(Z, E_e) = |\psi_{e,Z}(r \rightarrow 0)|^2/ | \psi_{e, Z=0}(r \rightarrow 0) |^2$ . $r \rightarrow 0$ 조건을 쓰는 이유는, 핵의 반경이 매우 짧기 때문입니다. (이 부분에 대한 유도는 다음에 기회가 되면 따로 포스팅을 하겠습니다.)

 

그럼 (i)-(iv) 식을 모아 다시 처음 식에 대입하면 우리는 아래와 같은 전이 확률 식을 얻을 수 있습니다:

$$ T_{fi}(p_e) = \frac{1}{2\pi^3 \hbar^7 c^3}  \sum_{\mu M_f} |\langle \xi_f \, J_f \, M_f | {\pmb O}_{\lambda \mu} | \xi_i \, J_i \, M_i \rangle |^2 F(Z, E_e) p_e^2 (E_0 - E_e) \left[ (E_0 - E_e)^2 - (m_\nu c^2)^2 \right]^{1/2}$$

여기서 $\mu$와 $M_f$에 대한 합은 핵자의 최종 상태를 고려하는 과정에서 유도가 됩니다.

 

위 식을 잘 보면, $\sqrt{T_{fi}(p_e)/p_e^2 F(Z,E_e)}$ 항이 $(E_0 - E_e)$ 항에 비례한다는 것을 알 수 있습니다. 그리고, 그 때의 기울기는 행렬 성분과 관계되어 있음을 알 수 있습니다. 이를 $E_e$에 대해서 플롯한 그림을 큐리 플롯이라 부르며, 아래 그림과 같이 그려집니다. 두 그림에서 볼 수 있듯이, 중성미자의 질량을 고려 여부에 따라 마지막 에너지 부근에서 그림의 차이가 생깁니다. 만약, 완벽한 해상도를 갖는 디텍터로 베타 붕괴를 측정할 수 있다면, 아래 그림에서처럼 중성미자의 질량이 존재하느냐 안하느냐에 따라 두 함수의 차이로 중성미자의 질량을 측정할 수 있을 것입니다. 그러나 현재의 실제 디텍터는 중성미자의 매우 작은 질량을 측정할 정도의 이상적으로 작은 에너지 스케일까지 측정할 수 없으며, 오른쪽 그림과 같은 결과가 나옵니다. 아주 미세한 중성미자의 질량을 측정하는 것이 매우 도전적인 일이라는 것을 알 수가 있습니다.

개략적인 Kurie plot. (혹은 Fermi-Kurie plot이라고도 부르며, Kurie는 Franz N. D. Kurie의 이름을 따서 붙은 이름임.) 빨간 실선은 중성미자의 질량을 고려했을 때를 나타내며, 파란색 실선은 중성미자의 질량을 무시했을 때의 그림이다. 왼쪽은 완벽한 해상도를 갖는 디텍터로 측정했을 때의 모습이며, 오른쪽은 유한한 해상도를 갖는 디텍터로 측정했을 때의 모습이다.

 

Total transition probability

그럼 다시 본론으로 돌아와 전체 전이 확률을 계산해 보겠습니다. 위에서 얻은 전이 확률은 단위 운동량 당 확률이므로, 전체 전이 확률을 구하기 위해 위 식을 전자의 운동량에 대해 아래와 같이 적분합니다. 

$$T_{fi} = \int T_{fi}(p_e) dp_e = \frac{m_e^5 c^4}{2\pi^3 \hbar^7} f(Z, E_0) | \sum_{\mu M_f} \langle \xi_f J_f \, M_f | {\pmb O}_{\lambda \mu} | \xi_i \, J_i \, M_i \rangle |^2, $$

$f(Z,E_0)$는 아래와 같이 주어집니다:

$$ f(Z,E_0) = \int F(Z, E_e) \left( \frac{p_e}{m_e c} \right)^2 \left( \frac{E_0 - E_e}{m_e c^2} \right)^2 \frac{d p_e}{m_e c} = \frac{1}{m_e^5 c^7} \int F(Z,E_e) p_e^2 (E_0 - E_e)^2 dp_e.$$

이 식은 베타 붕괴를 기술하는 전체 전이 확률이며, 이를 맨 처음에 주어진 반감기 식에 대입하면 핵자의 반감기를 계산할 수 있습니다. 물론 핵자의 상태를 기술하는 것이 중요할 것이며, 이에 따라 반감기 역시 달라질 것입니다. 다양한 핵종들에 대해 반감기를 분석하기 위해 주어진 결과에 대해 짚고 넘어가야 할 보다 자세한 내용들이 더 있습니다. 그 내용은 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.