7장 - 베타 붕괴(Beta Decay): Decay Branchings, Classification of allowed beta decay 등

 

 

본격적으로 핵구조 모형을 이용해 베타 붕괴를 기술하기 전에, 베타 붕괴에 대한 몇가지 내용들을 정리하고 넘어가겠습니다.

 

7.2.4 $\beta^+$ 붕괴와 전자 포획 반응:

$\beta^+$ 붕괴와 전자 포획 반응(Electron Capture, EC)은 모두 반응 후 핵의 전하가 감소하는 반응입니다. 우리가 관측할 수 있는 상태는 핵의 초기 상태와 최종 상태이기 때문에, 결국 두 반응은 양자역학적으로 섞여서 최종 상태를 만드는 데 함께 기여할 것입니다. 이를 Transition probability로 기술하면, 두 반응은 전이 확률의 가법성(additivity)에 의해 아래와 같이 쓰여질 수 있습니다:

$$ T_{fi}^+ = T_{fi}^{(\beta^+)} + T_{fi}^{(EC)}.$$

이를 ft값에 적용하면, ft 값 역시 $\beta^+$ 붕괴와 전자 포획 반응에 대한 두 가지 부분으로 나눠 쓸 수 있습니다:

$$ f_0 t_{1/2} = [f_0^{(+)} + f_0^{(EC)}]t_{1/2} = \frac{\kappa}{B_F + B_{GT}}.$$

그렇다면 $\beta^+$ 반응과 EC 반응 중에서 어떠한 반응이 더 우세하게 작용할까요?

 

이에 대한 답은 주어진 phase space factor를 간단히 계산해 보는 것으로 판단할 수 있습니다.

 

첫째로, $\beta^+$ 붕괴의 경우, phase space factor는 아래와 같이 주어집니다:

$$ f_0^{(+)} = \int_1^{E_0} F_0(Z_f, \epsilon) p \epsilon(E_0 - \epsilon)^2 d\epsilon, $$

위 식에서 $\epsilon = E_e/m_{e}c^2$, $E_0 = (E_i - E_f)/m_e c^2$, $p= \sqrt{\epsilon^2 -1}$을 의미합니다. $E_0$는 핵의 처음 상태의 에너지 $E_i$와 나중 상태의 에너지 $E_f$의 차이를 전자의 정지 질량 에너지 $m_e c^2$으로 나눈 차원이 없는 값입니다. 반응 전 후 에너지가 보존되어야 하므로, $E_0$는 베타 붕괴를 통해 생성되는 경입자들이 가질 수 있는 최대 에너지와 관련된 양이기도 합니다. 생성되는 전자가 이 에너지를 넘어설 수 없으므로, 이를 endpoint 에너지라고도 부릅니다.

 

위에 주어진 phase space factor는 수치 적분을 통해 값을 얻을 수 있지만, $Q$ value가 아주 작지 않다는 조건 하에서, 다음과 같은 유용한 근사 식으로도 계산이 가능합니다:

$$ f_0^+ \approx \frac{1}{30} (E_0^5 - 10 E_0^2 + 15 E_0 - 6) F_0^{(PR)}(Z_f), $$

여기서 $F_0^{(PR)}(Z_f)$는 아래와 같이 주어집니다:

$$ F_0^{(PR)} = \frac{2\pi \alpha Z_f}{1 - e^{-2 \pi \alpha Z_f}}. $$

이는 비상대론적 근사를 통해 얻어진 Fermi function이며, PR은 Primakoff-Rosen 근사의 앞글자를 따서 붙여진 이름입니다. 

 

전자 포획의 경우, phase space factor는 아래와 같이 주어집니다:

$$ f_0^{EC} = 2\pi (\alpha Z_i)^3 (\epsilon_0 + E_0)^2,$$

여기서 $\epsilon_0 = (m_ec^2 - B)/m_e c^2 \approx 1 - 0.5(\alpha Z_i)^2$으로 주어집니다. $B$는 전자가 $1s$ 궤도에 있을때 핵으로부터 갖는 결합 에너지를 의미합니다. 또한 근사 기호는 가벼운 핵 ($Z_i < 40$)에 대해서 유효합니다. 

 

그럼 위에 주어진 식으로부터 $\beta^+$ 붕괴 반응과 EC 반응에 대해서, 두 반응에 대한 phase space factor를 비교해볼 수 있습니다. $Z=20$에 대해서, 아래 그림은 두 결과를 비교를 보여주고 있습니다: 

Z=20에 대해서 얻은 $f_0^{(+)}$와 $f_0^{EC}$.

 

위 결과로부터, $E_0$의 영역에 따라 각 반응의 우세한 정도가 다른 것을 알 수 있습니다.

 

(i) $E_0 > 2$인 경우, $f_0^{(+)}$가 $f_0^{(EC)}$보다 매우 커진다는 것을 알 수 있습니다. 따라서, $E_0 >2$인 경우,

$$ f_0t_{1/2} \approx f_0^{(+)} t_{1/2}$$

이 되므로, 반감기는 거의 $\beta^+$ 반응에 의해서 결정될 것입니다.

 

(ii) 반면, $E_0<2$인 경우, 위 그림에서 보여지듯이 $f_0^{(EC)}$가 더 우세합니다. 따라서, $E_0 <2$인 경우, 전자 포획에 대한 반응에 의해 반감기가 결정될 것입니다. 

 

7.2.5 Decay Q-values

위에서 언급된 endpoint 에너지는 핵 데이터에서 많이 사용되는 Q value와도 연관이 되어 있습니다. 

 

1. $\beta^-$ 반응: $A(Z, N) \rightarrow A(Z+1, N-1) + e^- + \bar{\nu}_e$

 $\beta^-$ 붕괴 반응의 경우, Q value는 아래와 같이 주어집니다:

$$ Q_{\beta^-} = E_i - E_f - m_e c^2 $$

$E_i$는 베타 붕괴 전 핵의 에너지이며, $E_f$는 붕괴 후 생성된 핵이 갖는 에너지입니다. 위에서 endpoint 에너지 $E_0 = (E_i - E_f)/m_e c^2 $으로 정의했으므로, 위에 식을 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다:

$$ \frac{Q_{\beta^-}}{m_e c^2} = \frac{E_i - E_f}{m_e c^2} - 1= E_0 - 1 \Rightarrow E_0 = \frac{Q_{\beta^-} + m_e c^2}{m_e c^2}. $$

 

2. $\beta^+$ 반응: $A(Z,N) \rightarrow A(Z-1, N+1) + e^+ \nu_e$

$\beta^+$ 붕괴 반응에 대해서도, 비슷하게 Q value를 아래와 같이 쓸 수 있습니다 (전자와 양전자의 질량은 같으므로):

$$ Q_{\beta^+} = E_i - E_f - m_e c^2 \Rightarrow E_0 = \frac{Q_{\beta^+} + m_e c^2}{m_e c^2}$$

 

3. 전자 포획(EC) 반응: $A(Z,N) + e^- \rightarrow A(Z-1, N+1) + \nu_e$

전자 포획 반응의 경우 Q value는 아래와 같이 쓸 수 있습니다:

$$ Q_{EC} = E_i + m_e c^2 - E_f. $$

이를 $E_0$의 정의를 이용해 정리하면,

$$ E_0 = \frac{Q_{EC} - m_e c^2}{m_e c^2}.$$

여기서 $Q_{EC}$를 사용하여, 위 $\beta^+$ 반응에서 얻은 $E_0$를 다시 쓰면 아래와 같이도 쓸 수 있습니다:

$$ E_0 = \frac{Q_{EC} - m_e c^2}{m_e c^2}. $$

 

결국, endpoint energy $E_0$는 베타 붕괴 반응의 Q value를 알면 계산이 가능합니다. 그럼, 얻어진 $E_0$를 통해 phase space factor를 계산할 수 있게 되며, 핵자의 전이 확률에 대한 행렬 요소만 계산이 가능하면 반감기를 계산할 수 있습니다.

 

7.2.6 Partial and Total Decay Half-Lives; Decay Branchings

베타 붕괴를 통해 핵자는 일반적으로 다양한 상태로 전이할 수 있습니다. 이 경우, 각각의 최종 상태로 가는 전이 확률들은 모두 가법성(additivity)을 갖습니다. 즉, 전체 전이 확률은 각각의 전이 확률들을 더한 형태로 표현이 가능합니다. 또한, 각각의 전이 확률들은 각각의 반감기에 대응되며, 이로 인해 핵자의 전체 반감기는 핵자가 베타 붕괴를 통해 가질 수 있는 모든 상태 $k$에 대해서 아래와 같이 표현 가능합니다:

$$ \frac{1}{t_{1/2}} = \sum_k \frac{1}{t_{1/2}^{(k)}}.$$

여기서 $1/t_{1/2}$를 전체 반감기(total half-life)라 부르며, $t_{1/2}^{(k)}$를 부분 반감기(partial half-life)라 부릅니다. 

 

또한, 하나의 초기 상태로부터 전이 가능한 k개의 최종 상태가 있다면, 각각의 상태로 전이 가능한 확률 $B^{(k)}$은 아래와 같이 적을 수 있을 것입니다:

$$ B^{(k)} = \frac{T^{(k)}}{T_{\rm total}},$$

여기서 $\sum_k T^{(k)} = T_{\rm total}$이므로, $\sum_{k} B^{(k)} = 1$이 될 것입니다. (모든 가능한 확률을 더했으니 1이 되는 것은 당연합니다.)

 

그럼, 반감기 $t_{1/2}^{(k)}$는 전이 확률 $T^{(k)}$에 반비례 하므로, 

$$ t_{1/2}^{(k)} = \frac{t_{1/2}}{B^{(k)}} $$

로 쓸 수 있을 것입니다. 여기서 $B^{(k)}$를 "Branching Probability"라고 부르며, 이는 핵자가 베타 붕괴를 통해 각각의 최종 상태로 갈 수 있는 확률을 의미합니다. 

 

 

7.2.7 Classification of Beta Decays

앞선 내용들을 통해 $\beta$ 붕괴에 대한 여러 개념들을 살펴봤습니다. 특히, ft 값은 베타 붕괴를 분류하는 기준으로 많이 쓰이는데, 이를 정리해 보면 아래 표와 같습니다:

Type of transition	log ft
superallowed	3.9-3.7
unfavored allowed	3.8-6.0
l-forbidden allowed	$\ge 5.0$
first-forbidden unique	8-10
first-forbidden non-unique	6-9
second-forbidden	11-13
third-forbidden	17-19
fourth-forbidden	>22

 

우선 allowed transition만이 관심사이므로, 이번 섹션에서는 allowed transition에 대해서만 간략히 설명하겠습니다. 위에 표에서 log ft 값으로 분류된 각각의 전이는 명확한 경계값으로 구분이 되는 것은 아닙니다. 대략적인 영역으로 주어진 전이들의 종류를 구분합니다.  Allowed transition의 경우 위에 표에서 세 가지로 구분됩니다:

 

초허용 전이(Superallowed Transition)

첫번째는 초허용 전이(Superallowed Transition)입니다. 초허용 전이는 주로 가벼운 핵에서 양성자와 중성자의 Fermi surface가 비슷한 위치에 놓였을 때 일어납니다. 이 경우, 핵의 초기 상태와 나중 상태의 에너지 차이가 아주 작으며, 이러한 전이는 단일 입자가 전이하는 것을 통해 일어납니다. 결국, 비슷한 에너지 간격 사이에서 단일 입자의 전이(single particle transition)는 Gamow-Teller 또는 Fermi 전이 확률을 최대로 만들며, 이로 인해 ft 값이 작아지게 됩니다. 이 경우, 베타 붕괴가 "매우 잘 허용된다"고 해서 '초허용(superallowed) 전이'라고 명명됩니다. one-hole 또는 one-particle 타입의 가벼운 핵자들에서의 전이는 이에 대한 가장 간단한 예가 되며, 다음 포스팅에서 다뤄볼 예정입니다. 

 

$l$-금지 허용 전이 ($l$-forbidden allowed transition)

두번째는 $l$-forbidden allowed transition이라 불리는 전이입니다. 이는 앞선 초허용 전이와 다르게, 초기 상태에서 나중 상태로의 전이가 $\Delta l=0$이라는 조건 하에서 단일 입자의 전이로 일어나지 않는 경우를 말합니다. 즉, 어떠한 핵자의 전이가 일어 났는데, 이것이 평균장 모형 그림 안에서 $\Delta l=0$이라는 조건 때문에, 입자 하나를 전이 시키는 모형으로는 기술이 안되는 경우를 뜻합니다. 이러한 전이의 경우, 평균장 외에 잔여 상호작용(Residual interaction)을 도입하여 얻어지는 configuration mixing을 통해 log ft 값을 구해낼 수 있습니다. (Configuration mixing이란 단일 입자의 상태가 양자역학적으로 섞이는(중첩) 현상을 뜻합니다.) 그러나 이러한 configuration mixing은 그 정도가 크지 않아서 계산된 전이 확률은 작으며, 따라서 log ft값도 커지게 됩니다. 즉, allowed beta decay의 조건을 만족시키는 전이이나, 단일 입자의 전이가 아닌 residual interaction으로 부터 유도되는 configuration mixing을 통해서 기술되는 전이를 "$l$-forbidden allowed transition이라 부릅니다. 이는 allowed beta decay 중에서 가장 약한 전이입니다. 

 

비선호 허용 전이(Unfavoured allowed transition)

마지막으로, 위에 두 타입 중간에 있는 Unfavoured allowed transition이 있습니다. 이는 위에서 설명한 두 타입에 속하지 않는 전이입니다. 즉, 단일 입자에 의해 $\Delta l=0$의 조건을 만족시키면서 일어나는 전이이지만, 핵자의 초기 상태와 나중 상태에서 존재하는 여러 핵자의 파동함수로 인해 그 전이 확률이 감소하는 전이를 뜻합니다. 이러한 이유로, 순수하게 단일 입자의 전이로만 기술 가능한 Superallowed 전이보다는 작지만, $l$-forbidden allowed 전이보다는 큽니다. 또한, 여러 핵자들의 파동함수로 인해 감소한 전이 확률을 파악하기 위해 아래와 같은 양을 정의하여 사용합니다:

 "측정된 decay rate (실험) / 단일 입자에 의한 전이 확률 (이론)" 

 

이를 "단일 입자의 전이를 방해하는 정도"라 해서 "hindrance factor"라 부릅니다. 

 

 

 

그럼 위에서 정의된 분류를 아래와 같이 정리하며 오늘 포스팅을 마치겠습니다: 

 

허용된 베타 붕괴(Allowed beta decay)는 $\Delta l= 0$이라는 조건을 만족해야 하며, 이는 아래 세 가지로 분류됩니다. 

 

1. 가벼운 핵에서 초기 상태와 나중 상태의 에너지가 비슷할 때, 단일 입자의 전이로만 일어나는 베타 붕괴를 "Superallowed transition"이라 부릅니다. 이는 Allowed transition 중에서 허용 정도가 가장 강합니다. 
2. 단일 입자의 전이로는 일어나지 않으며, configuration mixing을 통해 기술되는 전이를 "l-fobidden allowed transition"이라 부릅니다. 이는 allowed beta decay 중에서 허용 정도가 가장 약합니다. 
3. 단일 입자의 전이가 다핵자 파동함수(many nucleon wave function)에 의해 줄어드는 전이를 "unfavoured allowed transition"이라 부릅니다. 이러한 붕괴의 허용 정도는 1)과 2)의 사이에 있습니다.