7장 - 베타 붕괴(Beta decay): One-Particle & One-Hole Nuclei

 

이번 포스팅에서는 가장 간단한 핵자 모형인 one-particle과 one-hole 핵에 대한 베타 붕괴를 다뤄보도록 하겠습니다.

 

7.3.1 Matrix Elements and Reduced Transition Probabilities

앞선 챕터의 내용을 따라서 one-particle 핵에 대한 파동 함수는 비활성된 코어에 핵자 하나를 생성하는 연산자 $c^\dagger$를 통해 기술이 가능합니다. 식으로 작성하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다:

\begin{eqnarray} |\Psi_i \rangle &=& | n_i \, l_i \, j_i \, m_i \rangle = c_i^\dagger | {\rm CORE} \rangle, \tag{1}\label{1} \\[12pt] |\Psi_f \rangle &=& | n_f \, l_f \, j_f \, m_f \rangle = c_f^\dagger |{\rm CORE} \rangle.  \tag{2}\label{2}\ \end{eqnarray}

여기서 $i$는 초기 상태를, $f$는 나중 상태를 의미합니다. 파동 함수는 양자수 $n, l, j, m$에 의존할 것입니다. 

 

이와 비슷하게 one-hole 핵의 경우, 주어진 Hartree-Fock (HF) 진공에 홀 하나를 생성하는 연산자 $h^\dagger$를 통해 아래와 같이 기술 가능합니다:

\begin{eqnarray} | \Phi_i \rangle &=& |(n_i \, l_i \, j_i \, m_i)^{-1} \rangle = h_i^\dagger |{\rm HF} \rangle,  \tag{3}\label{3} \\[12pt] | \Phi_f \rangle &=& | (n_f \, l_f \, j_f \, m_f )^{-1} \rangle = h_f^\dagger |{\rm HF} \rangle. \tag{4}\label{4} \end{eqnarray}

 

그럼 주어진 파동 함수를 이용해 one-body transition density를 구성할 수 있으며, 여기에 Wiger-Eckart Theorem을 사용하면, 다음과 같은 reduced one-body transition density를 구할 수 있습니다:

(일반적인 식에 대한 유도는 아래 이전 포스팅의 식 (5)와 식 (13)을 참고하시기 바랍니다.)

2024.04.14 - [Nuclear Physics/From Nucleons to Nucleus] - 6.2 Electromagnetic Transitions in One-Particle and One-Hole Nuclei - 6.2.1 Reduced Transition Probabilities

\begin{eqnarray} (\Psi_f || \left[ c^\dagger_a \tilde{c}_b \right]_L || \Psi_i ) &=& \delta_{af} \delta_{bi} \hat{L},  \tag{5}\label{5} \\[12pt] (\Phi_f || \left[ c_a^\dagger \tilde{c}_b \right]_L || \Phi_i) &=& \delta_{ai} \delta_{bf} (-1)^{j_i + j_f + L} \hat{L}. \tag{6}\label{6} \end{eqnarray}

위 식에서 $\delta$는 크로네터 델타를 의미하며, $\hat{L} = \sqrt{2L + 1}$입니다. 

 

그럼 Fermi Transition과 Gamow-Teller Transition에 대한 행렬 요소를 계산해 보겠습니다. 우선 Fermi Transition에 대해서는,

\begin{eqnarray} {\cal M}_F(\Psi_i \rightarrow \Psi_f) &=& \delta_{j_i j_f} \sum_{ab} {\cal M}_F(ab) (\Psi_f || \left[ c^\dagger_a \tilde{c}_b \right]_0 || \Psi_i ) = \delta_{j_i j_f} \sum_{ab} \cal{M}(ab) \delta_{af} \delta_{bi} =  \delta_{if} \widehat{j_i}, \tag{7}\label{7} \\[12pt] {\cal M}_F( \Phi_i \rightarrow \Phi_f ) &=& \delta_{j_i j_f} \sum_{ab} {\cal M}_F(ab) (\Phi_f || \left[ c^\dagger_a \tilde{c}_b \right]_0 || \Phi_i) = \delta_{j_i j_f} \delta_{if} (-1)^{2j_i} \widehat{j_f} = - \delta_{if} \widehat{j_i}  \tag{8}\label{8} \end{eqnarray}

이므로, 아래와 같은 결과식을 얻습니다:

\begin{eqnarray} {\cal M}(\Psi_i \rightarrow \Psi_f) = - {\cal M} (\Phi_i \rightarrow \Phi_f) = \delta_{if} \widehat{j_i}. \tag{9}\label{9} \end{eqnarray}

 

두번째로, Gamow-Teller Transition에 대해서도 아래와 같은 결과를 유도할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} {\cal M}_{GT}(\Psi_i \rightarrow \Psi_f) &=& \sum_{ab} {\cal M}_{GT}(ab) (\Psi_f || \left[ c^\dagger_a \tilde{c}_b \right]_1 || \Psi_i) = \sum_{ab} {\cal M}_{GT}(ab) \delta_{af} \delta_{bi} \sqrt{3}  = \sqrt{3} {\cal M}_{GT}(fi), \tag{10}\label{10} \\[12pt] {\cal M}_{GT}(\Phi_i \rightarrow \Phi_f) &=& \sum_{ab} {\cal M}_{GT}(ab)( \Phi_f || \left[ c^\dagger_a \tilde{c}_b \right]_1 || \Phi_i) = (-1)^{2j_i + 1} \sqrt{3} {\cal M}_{GT}(fi) = \sqrt{3} {\cal M}_{GT}(fi) \tag{11}\label{11}.\end{eqnarray}

따라서, 아래와 같은 결과가 유도됩니다:

\begin{eqnarray} {\cal M}_{GT}(\Psi_i \rightarrow \Psi_f) ={\cal M}_{GT}(\Phi_i \rightarrow \Phi_f) = \sqrt{3} {\cal M}_{GT}(fi) \tag{12}\label{12}. \end{eqnarray}

그럼, 위 결과들을 이용해 아래와 같이 reduced transition probability를 얻어낼 수 있습니다:

\begin{eqnarray} B_F = \frac{g_V^2}{2j_i + 1} | {\cal M}_F |^2 = g_V^2 \delta_{if}, \ \ \ B_{GT} = g_A^2 \left( \frac{3}{2j_i+1} \right) | {\cal M}_{GT}(fi) |^2. \tag{13}\label{13} \end{eqnarray}

 

7.3.2 Application to Beta Decay of $^{15}{\rm O}$

그럼 위에서 얻은 결과를 이용해 실제 one-hole 핵으로 기술 가능한 $^{15}{\rm O} \rightarrow {\rm ^{15}N}$의 베타 붕괴를 기술해 보도록 하겠습니다. 우선 두 핵자의 구조는 아래 그림과 같습니다. 

$^{15}{\rm N}$의 경우 $0p_{1/2}$ 상태의 양성자 홀이 하나 있으며, $^{15}{\rm O}$의 경우 같은 상태의 중성자 홀이 하나 존재합니다. 결국 0p 껍질을 $|{\rm HF}\rangle$로 잡을 수 있고, 여기에 $h_{0p1/2}^\dagger$ 연산자를 올려 핵의 상태를 표현할 수 있습니다. 결국 one-hole에서 one-hole로 전이하는 반응이므로, 위에 결과 식들을 이용해 전이 확률을 계산할 수 있습니다.

 

우선, $B_F$와 $B_{GT}$를 계산해보면,

\begin{eqnarray} B_F = g_V^2 = 1.0,  \ \ B_{GT} = g_A^2 \frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2} +1} |{\cal M}_{GT}(p_{1/2} p_{1/2})|^2 = 0.521 \tag{14}\label{14}  \end{eqnarray}

가 됩니다. 이 결과를 이용해 ft값을 계산하면,

\begin{eqnarray} f_0 t_{1/2} = \frac{\kappa}{B_F + B_{GT}} = \frac{6147\,{\rm s}}{1.0 + 0.521} = 4041\,{\rm s} \tag{15} \label{15} \end{eqnarray}

이 값으로부터 $\log ft = 3.61$이 됨을 알 수 있습니다.

 

위 계산에서 ${\cal M}_{GT}(ab)$에 대한 결과는 아래 표의 결과를 이용했습니다:

[출처] From Nucleon to Nucleus (J. Suhonen).

 

$^{15}{\rm O} \rightarrow ^{15}{\rm N}$의 경우, 핵의 전하량이 감소하는 반응이므로 전자 포획과 $\beta^+$ 반응 두 가지가 함께 기여할 것입니다. 그런데, endpoint 에너지 $E_0$를 주어진 Q-value에 대해 계산해 보면,

$$ E_0 = \frac{Q_{EC} - m_e c^2}{m_e c^2} = 4.839 $$

이므로 $E_0 > 2$인 것을 알 수 있습니다. 따라서, 두 반응 중 $\beta^+$ 반응이 더 크게 기여할 것이라는 것을 예측할 수 있습니다.

 

실험으로 측정된 $Q_{EC}=2.754$ MeV라는 것을 이용하면, ft에 대한 실제 계산값은 아래와 같습니다 (아래 부록에서 주어진 함수를 이용해 계산이 가능합니다.):

$$ f_0^{(+)} = 42.3, \ \ \ f_0^{EC} = 0.036.$$

$f_0^{+}$가 훨씬 더 크다는 것을 알 수 있습니다. 따라서, 위 결과를 이용하면 아래와 같이 반감기를 계산할 수 있습니다:

$$ t_{1/2} = 10^{3.61-1.63}\,{\rm s} = 95.5\,{\rm s}.$$

실제 실험으로 측정된 $^{15}{\rm O} \rightarrow ^{15}{\rm N}$의 반감기는 122초입니다. 간단한 모형임에도 불구하고, 실험값과 비슷한 결과를 얻었습니다. 

 

부록: $\beta^+$/EC 전이에 대한 $f_0$ 계산 & 다른 예제들

$\beta^+$/EC 전이에 대해서 $f_0 = f_0^{(+)} + f_0^{EC}$를 계산하는 함수를 아래와 같이 만들 수 있습니다.

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def f0_pl(QEC, Zf):
    Zi    = Zf + 1
    E0    = (QEC - 0.511)/0.511
    p     = lambda e: np.sqrt(e**2 -1)
    alpha = 1/137
    F_PR  = lambda e, Z: 2*np.pi*alpha*(-Zf)/(1- np.exp(-2*np.pi*alpha*(-Zf)))
    dfde  = lambda e: (e/p(e))*F_PR(e,Zf)*p(e)*e*(E0-e)**2
    f0_beta_pl = quad(dfde,1,E0)[0]
    f0_ec      = 2*np.pi*(alpha*Zi)**3*( (1-0.5*(alpha*Zi)**2) + E0)**2
    return f0_beta_pl + f0_ec
    
print(f0_pl(2.754, 7), np.log10(f0_pl(2.754,7)))   #15O(1/2-) -> 15N(1/2-)
print(f0_pl(2.762, 8), np.log10(f0_pl(2.762,8)))   #17F(5/2+) -> 17O(5/2+)
print(f0_pl(6.524, 19), np.log10(f0_pl(6.524,19))) #39Ca(3/2+) -> 39K(3/2+)
print(f0_pl(6.495, 20), np.log10(f0_pl(6.495,20))) #41Sc(7/2-) -> 41Ca(72-)

 

어떠한 반응에 대해서 Q-value가 실험적으로 주어진다면, 이 함수를 이용해 아래와 같은 예시 결과들을 얻을 수 있습니다:

Beta decay	$Q_{EC}^{\rm exp}$ [MeV]	$f_0$	$\log f_0$
$^{15}{\rm O}(1/2^-) \rightarrow {\rm ^{15}N}(1/2^-)$	2.754	42.34	1.627
$^{17}{\rm F}(5/2^+) \rightarrow {\rm ^{17}O}(5/2^+)$	2.762	42.12	1.625
$^{39}{\rm Ca}(3/2^+) \rightarrow {\rm ^{39}K}(3/2^+)$	6.524	4691	3.671
$^{41}{\rm Sc}(7/2^-) \rightarrow {\rm ^{41}Ca}(7/2^-)$	6.495	4460	3.649

 

그럼, 위에 표 7.3의 결과를 이용해 위 반응들에 대해서 $\log ft$값을 계산하고, $f_0$를 이용하면 아래와 같이 주어진 반응들에 대한 반감기를 계산해볼 수 있습니다:

Beta decay	$\log ft$	$t_{1/2}$ [s]	$t_{1/2}^{\rm exp}$ [s]
$^{15}{\rm O}(1/2^-) \rightarrow {\rm ^{15}N}(1/2^-)$	3.606	95.5	122
$^{17}{\rm F}(5/2^+) \rightarrow {\rm ^{17}O}(5/2^+)$	3.283	45.6	65.5
$^{39}{\rm Ca}(3/2^+) \rightarrow {\rm ^{39}K}(3/2^+)$	3.500	0.675	0.86
$^{41}{\rm Sc}(7/2^-) \rightarrow {\rm ^{41}Ca}(7/2^-)$	3.308	0.456	0.59