7장 - 베타 붕괴(Beta decay): Beta-Decay Transitions in Particle-Hole Nuclei

 이번 포스팅에서는 Particle-Hole Nuclei에 대한 베타 붕괴 반응을 알아보도록 하겠습니다. 이전 포스팅에서 Particle-Hole nuclei에 대한 상태를 기술하는 방법은 다룬 적이 있습니다 (아래 링크 참고):

2024.03.02 - [Nuclear Physics/From Nucleons to Nucleus] - 5.3 (2) & 5.4 Two-Hole and Particle-Hole Nuclei

5.3 (2) & 5.4 Two-Hole and Particle-Hole Nuclei

 

 이전 내용을 보면, particle-hole excitation의 경우, 전하가 보존되는 전하량이 보존(charge-conserving)되는 excitation과 전하량이 변화(charge-changing)하는 exictation 두 종류를 다루었습니다.

 

1) 전하량이 보존되는 excitation의 경우, HF vacuum에 "양성자 홀과 양성자 입자" 또는 "중성자 홀과 중성자 입자"를 만들어서 구성했습니다. HF vacuum이 양성자 수도 짝수 중성자 수도 짝수인 even-even 상태이므로, excitation 후에도 even-even 핵이 됩니다. 

 

2) 반면 전하가 변화하는 excitation의 경우, excitation 전과 후에 전하량이 변화하므로, HF-vacuum에 "양성자 홀과 중성자 입자" 혹은 "양성자 입자와 중성자 홀"을 만들어 구성합니다. 이러한 결과로 인해 excitation 된 핵은 odd-odd 핵이 됩니다. 

 

그러나 두 경우의 기반이 되는 HF vacuum은 모두 even-even 상태이며, 동시에 double magic nuclei로 기술이 됩니다. 이러한 기반이 되는 상태를 reference nucleus라고 부릅니다. 

 

이러한 선행 지식을 고려하여, 관련된 베타 붕괴를 기술해 보겠습니다.

 

전하량이 변화하는 excitation을 겪은 odd-odd 핵은 reference nucleus로 베타 붕괴가 가능합니다. 따라서, 이 경우 초기 상태는 particle-hole을 갖는 HF vacuum이 되며, 나중 상태는 reference nucleus의 바닥 상태인 HF vacuum이 될 것입니다. 그럼, 이를 이용해 beta decay 행렬 요소를 계산해 보겠습니다.

 

우선, 초기 상태가 아래와 같이 기술됨을 이용하여

\begin{eqnarray} |a_i \, b_i^{-1} ; J_i \, M_i \rangle = [c_{a_i}^{\dagger} h_{b_i}^\dagger]_{J_i M_i} | {\rm HF} \rangle \end{eqnarray}

$\langle {\rm HF} | [c_a^\dagger \tilde{c}_b]_{\lambda \mu} | a_i\, b_i^{-1}; J_i\, M_i \rangle$을 계산합니다. 이 과정에서 $\langle {\rm HF} | \cdots | {\rm HF} \rangle$에 있는 contraction을 잘 계산해주고, Clebsch-Gordan coefficients의 직교성질을 이용하면 식을 간단히 할 수 있습니다. 이후, Wigner-Eckart theorem을 이용하면, 아래와 같은 reduced matrix element를 구할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} ( {\rm HF} || [c_a^\dagger \tilde{c}_b ]_L || a_i \, b_i^{-1}; J_i ) = \delta_{L J_i} \delta_{ab_i} \delta_{ba_i} (-1)^{j_{a_i} - j_{b_i} + J_i}  \widehat{J_i} \tag{1}\label{1} \end{eqnarray}

 

이 결과를 이용해 Fermi와 Gamow-Teller transition 행렬 요소를 계산하면,

\begin{eqnarray} {\cal M}_F(a_i b_i^{-1}) &=& \delta_{J_i J_f} \sum_{ab} {\cal M}_F(ab) ( {\rm HF} || [c_a^\dagger \tilde{c}_b]_0 || a_i \, b_i^{-1}; J_i ) \\[12pt] \nonumber &=& \delta_{J_i J_f} \sum_{ab} {\cal M}(ab) \delta_{0 J_i} \delta_{a b_i} \delta_{ba_i} (-1)^{j_{a_i} - j_{b_i } + J_i} \widehat{J_i} \\[12pt] \nonumber &=& \delta_{0 J_f} {\cal M}(a_i b_i) (-1)^{j_{a_i} - j_{b_i} } = \delta_{0 J_f} \delta_{a_i b_i} \widehat{j_{a_i}},  \tag{2-1}\label{2-1}  \end{eqnarray}

 

\begin{eqnarray} {\cal M}_{GT}(a_i b_i^{-1}) &=& \sum_{ab} {\cal M}_{GT}(ab) ( {\rm HF} || [c_a^\dagger \tilde{c}_b]_1 || a_i \, j_i^{-1} ; J_i) \\[12pt] \nonumber &=& \sum_{ab} {\cal M}_{GT}(ab) \delta_{1 J_i} \delta_{ab_i} \delta_{ba_i} (-1)^{j_{a_i} - j_{b_i} + J_i} \widehat{J_i} \\[12pt] \nonumber &=& {\cal M}_{GT}(a_i b_i) \delta_{1 J_i} (-1)^{j_{a_i} - j_{b_i} + 1} \sqrt{3} = -\sqrt{3} \delta_{J_i 1} {\cal M}_{GT}(a_i b_i) \tag{2-2}\label{2-2} \end{eqnarray}

 

반대로, odd-odd 핵이 reference nucleus 상태보다 아래에서 low-lying states를 가질 수도 있습니다. 이 경우, vacuum에서 odd-odd 핵으로 베타 붕괴가 일어나게 됩니다. 이러한 경우는, 위에서 기술한 식에서 초기 상태와 나중 상태를 교환하여 기술이 가능합니다. 유도과정은 비슷하며, 결과는 아래와 같습니다: 

\begin{eqnarray} (a_f \, b_f^{-1} ; J_f  || [c_a^\dagger \tilde{c}_b ]_L || {\rm HF}) = \delta_{LJ_f} \delta_{aa_f} \delta_{bb_f} \widehat{J_f}.  \tag{3} \label{3}\end{eqnarray}

 

이 결과를 이용해 마찬가지로, Fermi와 Gamow-Teller transition 행렬 요소를 구하면, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} {\cal M}_F (a_f b_f^{-1} ) = \delta_{J_f 0} \delta_{a_f b_f} \widehat{j_{a_f} }, \ \ \ {\cal M}_{GT}(a_f b_f^{-1}) = \sqrt{3} \delta_{J_f 1} {\cal M}_{GT} (a_f b_f) \tag{4} \label{4}\end{eqnarray}

 

$^{56}{\rm Ni} \rightarrow ^{56}{\rm Co}$ 베타 붕괴

 위에서 유도한 결과들을 이용해 $^{56}{\rm Ni}$의 베타 붕괴를 기술해 보겠습니다. 아래 그림에서 보여지는 것처럼, $^{56}{\rm Ni}$ 은 $^{56}{\rm Co}$으로 붕괴합니다. 이 경우 $^{56}{\rm Ni}$이 reference nucleus이 되며, 붕괴 후의 생성된 $^{56}{\rm Co}$는 odd-odd 핵이 됩니다.

56Ni에서 56Co으로의 붕괴 채널. 출처-[From Nucleons to Nucleus] [J. Sunonen]

 

또한, $^{56}{\rm Co}$의 파동함수는 아래와 같이 $^{56}{\rm Ni}$의 바닥 상태를 reference nucleus로 하여 기술 가능합니다:

\begin{eqnarray} | ^{56}{\rm Co}; 1^+, 2^+, 3^+, 4^+, 5^+, 6^+ \rangle = [c^\dagger_{\nu 0 f_{5/2}} h^\dagger_{\pi 0 f_{7/2}}]_{1^+, 2^+, 3^+, 4^+, 5^+, 6^+} | ^{56}{\rm Ni}; 0^+_{\rm gs} \rangle. \end{eqnarray}

 

그런데, 이 다양한 상태들 중에서 각운동량 보존 법칙 때문에 (식 (4)), $J_i=1$인 Gamow-Teller Transition만 가능합니다.

 

따라서, Gamow-Teller Transition에 대한 행렬 요소를 계산해 보면,

\begin{eqnarray} {\cal M}_{GT} = \sqrt{3} {\cal M}_{GT} (f_{5/2} f_{7/2}) = \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{\frac{2}{7}}  = 3.703 \tag{5}\label{5} \end{eqnarray}

이라는 결과를 얻을 수 있습니다. 또한, 위 결과를 이용해 reduced transition 확률을 구하면,

\begin{eqnarray} B_{\rm GT} = g_A^2 | {\cal M}_{GT}|^2 = 1.25^2 \times 3.703^2 =21.43 \tag{6}\label{6}\end{eqnarray}

이 됩니다. 이로부터 얻어지는 ft 값은

\begin{eqnarray} \log ft = 2.46 \tag{7}\label{7} \end{eqnarray}

이며, 이에 대한 실제 실험값은 $\log ft = 4.4$입니다. log값인 것을 감안해보면, particle-hole 기술이 썩 잘맞는 것 같지는 않아 보입니다.

 

 이는 주어진 베타 붕괴가 "unfavoured allowed transition"에 속하기 때문입니다. 이 경우, single-particle transition으로 기술된 결과가 초기 상태와 나중 상태의 residual interaction에 의해 희석됩니다. single-particle transition이 residual interaction에 의해 어느 정도 희석되는 지를 알기 위해 hinderance factor를 계산해보면, 이 값이 $10^{2.46-4.4}=0.011$인 것을 알 수 있습니다. 결국, 이 베타 붕괴 과정의 경우 residual interaction으로 부터 좀 더 복잡한 configuration들을 고려해야 함을 알 수 있습니다.