각운동량의 덧셈(2): Wigner 6j symbol

이번 포스팅에서는 6j symbol에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 

 

지난 포스팅에서 다뤘듯이, Wigner 3j symbol은 두 개의 각운동량을 결합하는 것과 관련되었습니다. 다시 리뷰를 해보면, 아래와 같이 Clebsch-Gordan (CG) Coefficient를 정의했습니다:

두 개의 각운동량이 결합된 기저를 각각의 결합되지 않은 상태로 전개할 때, 유도되는 계수를 Clebsch-Gordan Coefficient라 한다.

 

 

그리고 이러한 Clebsch-Gordan Coefficient를 Wigner 3j symbol의 형태로 만들었습니다. 6j symbol은 이러한 CG 계수에 대한 확장입니다. 즉, 2개의 각운동량 결합을 3개의 각운동량 결합으로 확장하는 작업입니다. 

 

3j symbol을 만들 때와 비슷한 과정을 따라가 보도록 하겠습니다.

 

6j symbol의 정의

${\pmb J}_1$, ${\pmb J}_2$, ${\pmb J}_3$ 등 3개의 각운동량이 주어진다면, 이것을 결합하는 방법은 아래와 같은 경우의 수를 가질 것입니다:

\begin{eqnarray} {\pmb J} = {\pmb J}_{12} + {\pmb J}_{3}, \ \ {\pmb J} = {\pmb J}_1 + {\pmb J}_{23}, \ \ {\pmb J} = {\pmb J}_{13} + {\pmb J}_2. .\label{01}\tag{1} \end{eqnarray}

여기서 ${\pmb J}_{12} = {\pmb J}_1 + {\pmb J}_2$, ${\pmb J}_{13} = {\pmb J}_1 + {\pmb J}_3$, ${\pmb J}_{23} = {\pmb J}_2 + {\pmb J}_3$를 의미합니다.

결국 전체 결합된 각운동량 상태를 기술하는 기저는 3가지 종류가 존재할 수 있으며, 그 경우는 아래와 같이 적을 수 있습니다:

\begin{eqnarray} |j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \,m \rangle, \ \ |j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle, \ \ |j_1 \, j_3 \, (j_{13})\, j_2; j \,m \rangle. \label{02}\tag{2}  \end{eqnarray}

이러한 3개의 기저는 다른 상태이며, 각각의 기저는 아래와 같이 완전성을 만족합니다:

\begin{eqnarray} && \sum_{j_{12}} |j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \,m \rangle \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \,m | = 1, \label{03}\tag{3} \\[12pt] && \sum_{j_{23}} |j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle \langle j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m | = 1, \label{04}\tag{4} \\[12pt] && \sum_{j_{13}} |j_1 \, j_3 \, (j_{13})\, j_2; j \,m \rangle \langle j_1 \, j_3 \, (j_{13})\, j_2; j \,m | = 1. \label{05}\tag{5}\end{eqnarray}

 

그럼 주어진 완전성을 이용해, $|j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle$를 $|j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3 ; j \, m \rangle$의 기저에서 표현할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} |j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle = \sum_{j_{12}} | j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j\, m \rangle \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j\, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle \label{06}\tag{6} \end{eqnarray}

여기서 주어진 계수 $\langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j\, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle$를 아래와 정의할 수 있습니다:

\begin{eqnarray} \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle \equiv   (-1)^{j_1 + j_2 + j_3 + j} \widehat{j_{12}} \widehat{j_{23}} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_{12} \\ j_3 & j & j_{23} \end{Bmatrix}. \label{07}\tag{7} \end{eqnarray}

여기서 $\widehat{j_i} = \sqrt{2j_i+1}$을 의미하며. 괄호 안에 들어간 기호를 6j Symbol이라 부릅니다. 6j symbol을 이용해 주어진 식을 다시 적으면 아래와 같이 됩니다:

\begin{eqnarray} |j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle = \sum_{j_{12}}(-1)^{j_1 + j_2 + j_3 + j} \widehat{j_{12}} \widehat{j_{23}} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_{12} \\ j_3 & j & j_{23} \end{Bmatrix} | j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j\, m \rangle \label{08}\tag{8} \end{eqnarray}

결국 6j symbol은 각운동량을 3개 결합하는 과정에서 필요한 전개 계수에 해당됩니다.

3j symbol로의 표현

이렇게 주어진 6j symbol은 3j symbol로 표현이 가능합니다. 이를 위해 주어진 $|j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle$를 uncoupled basis 로 표현해 보도록 하겠습니다. 그런데, $|j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle$의 의미는 2와 3을 결합하고, 그 결과를 1과 결합하는 것이므로, 아래와 같이 쓸 수 있습니다:

\begin{eqnarray} |j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle &=& \left( \sum_{m_2, m_3} (j_2 \, m_2 \, j_3 \, m_3 | j_{23} \, m_{23} ) \right) \left( \sum_{m_1, m_{23}} (j_1 \, m_1 \, j_{23} \, m_{23} | j \, m ) \right) \\[12pt] &\times & |j_1 \, m_1 \rangle | j_2 \, m_2 \rangle | j_3 \, m_3 \rangle. \label{09}\tag{9} \end{eqnarray}

첫번째 줄에서, 첫번째 괄호는 2와 3을 결합하면서 유도된 CG 계수이며, 두번째 괄호 1과 23을 결합할 때 유도되는 계수입니다.

 

비슷하게, 이번엔 1과 2를 12상태로 결합한 후에 12를 3과 결합한 상태를 구해보겠습니다:

\begin{eqnarray} |j_1 \, j_2 \, (j_{12}) \, j_3; j \, m \rangle &=& \left( \sum_{m_1, m_2} ( j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_{12} \, m_{12} ) \right) \left( \sum_{m_{12}, m_3} (j_{12} \, m_{12} \, j_3 \, m_3 | j \, m) \right) \\[12pt] &\times& |j_1 \, m_1 \rangle |j_2 \, m_2 \rangle | j_3 \, m_3 \rangle. \label{10}\tag{10}  \end{eqnarray}

 

그럼 식 (\ref{09}) 와 (\ref{10})을 이용해, 식 (\ref{07})의 좌변을 계산해 보겠습니다:

\begin{eqnarray} \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle = & & \sum_{ \substack{m_1, m_2, m_3, \\ m_{12}, m_{23} }} ( j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_{12} \, m_{12} ) \\[12pt] && \times (j_{12} \, m_{12} \, j_3 \, m_3 | j \, m) (j_2 \, m_2 \, j_3 \, m_3 | j_{23} \, m_{23} ) \\[12pt] && \times (j_1 \, m_1 \, j_{23} \, m_{23} | j \, m ). \label{11}\tag{11} \end{eqnarray}

여기서 주어진 계수들이 $m$에 대해 독립적이기 때문에, 주어진 계수들을 모든 $m$에 더하고 (2j+1)로 나눠줘도 결과는 같습니다. 이를 이용해 주어진 식을 다시 적어 보겠습니다:

\begin{eqnarray} \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle = & & (2j + 1)^{-1} \sum_{ \substack{m_1, m_2, m_3, \\ m_{12}, m_{23}, m }} ( j_1 \, m_1 \, j_2 \, m_2 | j_{12} \, m_{12} ) \\[12pt] && \times (j_{12} \, m_{12} \, j_3 \, m_3 | j \, m) (j_2 \, m_2 \, j_3 \, m_3 | j_{23} \, m_{23} ) \\[12pt] && \times (j_1 \, m_1 \, j_{23} \, m_{23} | j \, m ) \label{12}\tag{12} \end{eqnarray}

그 다음 주어진 CG 계수들을 Wigner 3j symbol로 변환해 보겠습니다:

\begin{eqnarray} \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle = & & (2j + 1)^{-1} \sum_{ \substack{m_1, m_2, m_3, \\ m_{12}, m_{23}, m }} \\[12pt] && \times (-1)^{-j_1 + j_2 - m_{12}} \widehat{j_{12}} \begin{pmatrix} j_1 & j_{2} & j_{12} \\ m_1 & m_{2} & - m_{12} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times (-1)^{-j_{12} + j_{3} - m} \widehat{j} \begin{pmatrix} j_{12} & j_3 & j \\ m_{12} & m_{3} & - m \end{pmatrix} \\[12pt] && \times (-1)^{-j_2 + j_3 - m_{23}} \widehat{j_{23}} \begin{pmatrix} j_2 & j_3 & j_{23} \\ m_2 & m_3 & - m_{23} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times (-1)^{-j_1 + j_{23} - m } \widehat{j} \begin{pmatrix} j_1 & j_{23} & j & \\ m_1 & m_{23} & -m \end{pmatrix}. \label{13}\tag{13} \end{eqnarray}

3j symbol의 경우 홀수 자리를 바꾸는 경우에 대해서 phase factor가 붙는 것과 시그마 기호 안에서 각 $m$들의 부호를 변경할 수 있다는 점들을 고려하여, 위에 식을 정리해 보겠습니다:

\begin{eqnarray} \langle j_1 \, j_2 \, (j_{12})\, j_3; j \, m | j_1, \, j_2 \, j_3 (j_{23})\, ; j \,m \rangle = & & \widehat{j_{12}} \widehat{j_{23}} \sum_{ \substack{m_1, m_2, m_3, \\ m_{12}, m_{23}, m }} \\[12pt] && \times (-1)^{-j_1 + j_2 + m_{12}} \begin{pmatrix} j_1 & j_{2} & j_{12} \\ m_1 & m_{2} & m_{12} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times (-1)^{j + 2j_{3} - m} \begin{pmatrix} j_{3} & j & j_{12} \\ -m_{3} & m & m_{12} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times (-1)^{ 2j_3 + j_{23} - m_{23}} \begin{pmatrix} j_3 & j_2 & j_{23} \\ m_3 & m_2 & - m_{23} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times (-1)^{j + 2 j_{23} - m } \begin{pmatrix} j_1 & j & j_{23} & \\ m_1 & -m & m_{23} \end{pmatrix}. \label{14}\tag{14} \end{eqnarray}

주어진 식을 식 (\ref{07})과 비교하면, 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

\begin{eqnarray} (-1)^{j_1 + j_2 + j_3 + j} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_{12} \\ j_3 & j & j_{23} \end{Bmatrix} & = & \sum_{ \substack{m_1, m_2, m_3, \\ m_{12}, m_{23}, m }} (-1)^{-m_3 - m - m_{23}} \\[12pt] && \times (-1)^{-j_1 + j_2 + 4j_{3} + 2j + 3 j_{23} } \begin{pmatrix} j_1 & j_{2} & j_{12} \\ m_1 & m_{2} & m_{12} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times \begin{pmatrix} j_{3} & j & j_{12} \\ -m_{3} & m & m_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_3 & j_2 & j_{23} \\ m_3 & m_2 & - m_{23} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times \begin{pmatrix} j_1 & j & j_{23} & \\ m_1 & -m & m_{23} \end{pmatrix}. \label{15}\tag{15} \end{eqnarray}

그러므로, 주어진 6j symbol은 다음과 같은 형태로 표현이 됩니다:

\begin{eqnarray} \begin{Bmatrix} j_1 & j_2 & j_{12} \\ j_3 & j & j_{23} \end{Bmatrix} & = & \sum_{ \substack{m_1, m_2, m_3, \\ m_{12}, m_{23}, m }} (-1)^{ j + j_{23} + j_{3} -m_3 - m - m_{23} } \\[12pt] && \times (-1)^{2 (-j_1 + j_{3} + j_{23} )} \begin{pmatrix} j_1 & j_{2} & j_{12} \\ m_1 & m_{2} & m_{12} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times \begin{pmatrix} j_{3} & j & j_{12} \\ -m_{3} & m & m_{12} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_3 & j_2 & j_{23} \\ m_3 & m_2 & - m_{23} \end{pmatrix} \\[12pt] && \times \begin{pmatrix} j_1 & j & j_{23} & \\ m_1 & -m & m_{23} \end{pmatrix}. \label{16}\tag{16} \end{eqnarray}

$j_1$, $j_2$, $j_3$ 가 반정수라면 (fermion이라면), $(-1)^{2(-j_1 + j_3 + j_{23})}= 1$이 됩니다.